Rees reprezentációs tétele

A Rees-reprezentációs tétel ( a Rees-Fréchet-tétel is ) a funkcionális analízis állítása, amely szerint egy Hilbert-térben minden lineáris korlátos funkcionál egy belső szorzaton keresztül reprezentálható valamilyen elem felhasználásával. Nevét Rys Frigyes magyar matematikusról kapta .

Megfogalmazás

Legyen a térben egy Hilbert-tér és egy lineáris korlátos funkcionál . Aztán van a térnek egy egyedi eleme , például egy tetszőleges . Ezenkívül teljesül az egyenlőség: . $H$ $f\in H'$ $H$ $y$ $H$ $x\in H$ $f(x)=\langle y,x\rangle$ $\|y\|=\|f\|$

Bizonyítás

$\bevágás)$ a lineáris függvény magja egy vektoraltér . $H$

Létezés $y$

Ha , akkor elég venni . Tegyük fel, hogy . Ekkor , és ezért a kernel ortogonális komplementere nem egyenlő a -val . Kiválasztunk egy tetszőleges nem nulla vektort . Hadd . Ezt mindenkinek megmutatjuk . Tekintsük a vektort . Vegye figyelembe, hogy és így . Mert akkor . Következésképpen, $f\equiv 0$ $y=0$ $f\neq 0$ $\ker(f)\neq H$ ${\displaystyle \ker(f)^{\bot ))$ $f$ $\{0\}$ $b\in \ker(f)^{\bot }\setminus {\big \{}0{\big \))$ $y={\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2}}}b$ $f(x)=\langle y,x\rangle$ $x\in H$ $p_{x}=x-{\tfrac {f(x)}{f(b)}}b$ $f(p_{x})=f(x)-{\tfrac {f(x)}{f(b)))f(b)=0$ $p_{x}\in \ker(f)$ ${\displaystyle b\in \ker(f)^{\bot ))$ $\langle b,p_{x}\rangle =0$

$\langle b,p_{x}\rangle ={\Big \langle }b,x-{f(x) \over f(b)}b{\Big \rangle }=\langle b,x\ tartomány -{f(x) \over f(b)}\|b\|^{2}=0$ .

Innen és . $f(x)=\langle b,x\rangle {\tfrac {f(b)}{\|b\|^{2))}$ $f(x)=\langle y,x\rangle$

Egyediség $y$

Tegyük fel, hogy és az elemek teljesülnek . $y$ $z$ $H$ $f(x)=\langle y,x\rangle =\langle z,x\rangle$

Ez azt jelenti, hogy az egyenlőség mindenkire igaz , különösen arra , akitől az egyenlőség származik . $x\in H$ $\langle yz,x\rangle =0$ $\langle yz,yz\rangle =\|yz\|^{2}=0$ $y=z$

Normák egyenlősége

Ennek bizonyítására először is a Cauchy-Bunyakovsky egyenlőtlenségből a következőket kapjuk: . Ennélfogva a funkcionális normájának definíciója szerint van: Ezen kívül , honnan . A két egyenlőtlenséget kombinálva azt kapjuk, hogy . $\|y\|=\|f\|$ $|f(x)|=|\langle y,x\rangle |\leq \|y\|\|x\|$ $\|f\|\leq \|y\|.$ $\langle y,y\rangle =f(y)\leq \|y\|\|f\|$ $\|y\|\leq \|f\|$ $\|y\|=\|f\|$

Lásd még

Lax-Milgram tétel