Teljességi tétel

A teljességi tétel a véges csoportok reprezentációinak tulajdonságaira vonatkozó kijelentés, hogy egy véges csoporton bármely függvény kibővíthető e csoport irreducibilis reprezentációi mátrixának elemeivel . Ennek a bővítésnek az együtthatóit a trigonometrikus sorozatok elméletével analógia alapján Fourier-együtthatónak nevezzük . Fontos szerepet játszik a csoportelméleti módszerek fizikai alkalmazásában [1] .

Megfogalmazás

Egy véges csoport bármely függvénye kibővíthető irreducibilis reprezentációk mátrixelemeivel: $F(h)$ $G$

F(h)=\sum _{i=1}^{\sigma }\sum _{m,n=1}^{s_{i}}C_{mn}^{(i)}\tau _{mn}^{(i)}(h)

ahol: a csoport nem ekvivalens irreducibilis reprezentációinak száma , az -edik irreducibilis reprezentáció kanonikus bázisának vektorainak száma, a -edik irreducibilis reprezentáció mátrixának elemei . $\sigma$ $G$ ${\displaystyle s_{i))$ $én$ ${\displaystyle \tau _{mn}^{(i)))$ $én$

Bizonyítás

Szabályos reprezentációt definiálunk egy csoporton a csoporton lévő függvények terében működő és a reláció által meghatározott operátor segítségével $T$ $G$ $T(g)$ $\Phi$

T(g)\phi (h)=\psi (h)\equiv \phi (hg)

(egy),

ahol van egy tetszőleges függvény a csoporton. $\phi (h)$

Az operátor definiálja a csoport reprezentációját a térben , mivel és az alapján . $T(g)$ $T$ $G$ $\Phi$ $T(e)=E$ $T(g_{1})T(g_{2})=T(g_{1}g_{2})$ $T(g_{1})T(g_{2})\phi (h)=T(g_{1})\psi (h)=\psi (hg_{1})=\phi (hg_{ 1}g_{2})=T(g_{1}g_{2})\phi (h)$

A teret alterek összegeként ábrázolhatjuk: $\Phi$

{\displaystyle \Phi =\sum _{\alpha =1}^{\sigma }\sum _{m=1}^{m_{\alpha }}\Phi _{m}^{(\alpha )))

amiatt, hogy a véges csoport minden reprezentációjához hasonlóan a reprezentáció is redukálhatatlan reprezentációk összege. Itt vannak azok az alterek, amelyek az operátor hatására átalakulnak az irreducibilis reprezentáción , egy egész szám, ami azt jelenti, hogy a reprezentáció hány előfordulása a reguláris reprezentációban . $T$ $\Phi _{m}^{(\alpha )},m=1,...,m_{\alpha }$ $T(g)$ ${\displaystyle \tau _{\alpha ))$ $m_{\alpha }$ ${\displaystyle \tau _{\alpha ))$ $T$

Használjuk azt a tényt, hogy minden altérben van egy kanonikus alap, egy függvényhalmaz , amelyek az operátorok hatására a következőképpen alakulnak át : ${\displaystyle \Phi _{m}^{(\alpha )))$ ${\displaystyle \phi _{j}^{\alpha m}(h),j=1,2,...,s_{\alpha ))$ $T(g)$

T(g)\phi _{j}^{\alpha m}(h)=\sum _{l=1}^{s_{\alpha }}\tau _{lj}^{\alpha } (g)\phi _{l}^{\alpha m}(h)

(2)

Egy tér bázisát úgy kaphatjuk meg, hogy az összes alterének bázisfüggvényeit kombináljuk, és így kiszámítjuk az együtthatókat . Ennek eredményeként a következőket kapjuk: $\Phi$ ${\displaystyle C_{j}^{\alpha m))$

{\displaystyle F(h)=\sum _{\alpha =1}^{\sigma }\sum _{m=1}^{m_{\alpha }}\sum _{j=1}^{s_{ \alpha }}C_{j}^{\alpha m}\phi _{j}^{(\alpha m)))

(3)

A bizonyítás befejezéséhez definiáljuk a függvényeket . Az (1, 2) képletekből a következőket kapjuk: ${\displaystyle \phi _{j}^{(\alpha m)))$

\phi _{j}^{\alpha m}(hg)=\sum _{l=1}^{s_{\alpha }}\tau _{lj}^{\alpha }(g)\ phi _{l}^{(\alpha m)}(h)

Tegyük bele ezt a képletet . A képlet így fog kinézni: $h=e$

\phi _{j}^{\alpha m}(g)=\sum _{l=1}^{s_{\alpha }}\tau _{lj}^{\alpha }(g)\ phi _{l}^{(\alpha m)}(e)

Így bármely függvény mátrixelemek sorozatává bővül . A (3) egyenlőségből az következik, hogy egy tetszőleges függvénynek ugyanaz a tulajdonsága [2] . $\phi _{j}^{\alpha m}(g)$ ${\displaystyle \tau _{lj}^{\alpha }(g),l=1,2....,s_{\alpha ))$ $F(h)$

Lásd még

Fourier-együtthatók

Jegyzetek

↑ Lyubarsky, 1986 , p. 181.
↑ Lyubarsky, 1986 , p. 183.

Irodalom

Lyubarsky G.Ya. Csoportelmélet és fizika. — M .: Nauka, 1986. — 224 p.