Sűrűségpont tétel

A sűrűségponttétel a mértékelmélet eredménye , amely intuitív módon úgy is értelmezhető, hogy egy mérhető halmaz "határpontjainak" a mérőszáma nulla.

Megfogalmazás

Jelölje Lebesgue mértékével az euklideszi térben . Legyen mérhető halmaz. Egy tetszőleges ponthoz és vegye figyelembe az értéket $\lambda$ $\mathbb {R} ^{n}$ $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ $x\in \mathbb{R} ^{n}$ $\varepsilon >0$

d_{\varepsilon }(x)={\frac {\lambda (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\lambda (B_{\varepsilon }(x))))

ahol egy golyót jelöl, amelynek középpontja at és sugara . Az érték a halmaz közelítő sűrűségeként értelmezhető a pontban . $B_{\varepsilon }(x)$ $x$ $\varepsilon$ $d_{\varepsilon }(x)$ $A$ $x$

Akkor

d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)

létezik, és szinte minden pontra egyenlő 1-gyel . $x\in A$

Jegyzetek

Az értéket , ha definiáljuk, a halmaz sűrűségének nevezzük a pontban . $d(x)$ $A$ $x$
Más szavakkal, a tétel kimondja, hogy bármely mérhető halmaz sűrűsége szinte mindenhol 0 vagy 1 értéket vesz fel . $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$
Ha egy halmaznak és komplementerének pozitív mértéke van, akkor mindig lesznek olyan pontok, amelyek sűrűsége nem 0 és 1.

Példák

Például adott egy négyzet a síkban, a sűrűség a négyzeten belül minden egyes pontban 1, az oldalakon 1/2, a csúcsokon 1/4 és 0 a négyzeten kívül; a határok és csúcsok mértéke nulla.

Változatok és általánosítások

A sűrűségponttétel a Lebesgue-féle differenciációs tétel speciális esete .

Irodalom

Natanson IP Valós változó függvényeinek elmélete. - M. , 1974.