Hincsin-Kolmogorov tétel
Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. január 1-jén felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .A Khinchin–Kolmogorov tétel (más néven Wiener–Khinchin tétel , és néha Wiener–Khinchin–Einstein tétel ) kimondja, hogy egy nagyjából stacionárius véletlen folyamat teljesítményspektrális sűrűsége a megfelelő autokorrelációs függvény Fourier -transzformációja . [1] [2] [3]
Folyamatos eset:
ahol
![{\displaystyle r_{xx}(\tau )=\mathrm {E} {\big [}x(t)x^{*}(t-\tau ){\big ]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59155e94f8911ff37825b209fc061181ad78d76)
a matematikai elvárás alapján definiált autokorrelációs függvény , ahol pedig a függvény teljesítményspektrális sűrűsége . Vegyük észre, hogy az autokorrelációs függvényt a szorzat matematikai elvárása alapján definiáljuk, és a Fourier-transzformáció általános esetben nem létezik, mivel a stacionárius véletlenfüggvények nem integrálhatók a másodfokúba.
A csillag összetett konjugációt jelent, elhagyható, ha a véletlenszerű folyamat valós.
Diszkrét eset:
![{\displaystyle S_{xx}(f)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }r_{xx}[k]e^{-j2\pi kf},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38901e6cf78daee94b619a30e4f0df76c803f3ec)
ahol
![{\displaystyle r_{xx}[k]=\mathrm {E} {\big [}x[n]x^{*}[nk]{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aef2b6900fc064689f6d626562baffa06f0e3fb8)
és hol
a teljesítmény spektrális sűrűség diszkrét értékekkel . Mivel diszkrét idejű mintákban van rendezve, a spektrális sűrűség egy periodikus függvény a frekvenciatartományban.
![x[n]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864cbbefbdcb55af4d9390911de1bf70167c4a3d)
Alkalmazás
A tétel alkalmas lineáris stacionárius rendszerek elemzésére , ahol a bemeneti és kimeneti értékek nem integrálhatók kvadratúra, ezért nem léteznek Fourier-transzformációk. Következésképpen az LSS rendszer kimenőjel autokorrelációs függvényének Fourier-transzformációja megegyezik a rendszer bemeneti jele autokorrelációs függvényének Fourier-transzformációjának és a rendszer Fourier-transzformációjának modulusának négyzetével. impulzusválasza . _ Ez akkor is igaz, ha a bemeneti és kimeneti jeleknek nincs Fourier-transzformációja, mert nem integrálhatók. Ezért az impulzusátviteli függvény Fourier-transzformációjával a bemeneti és kimeneti paraméterek közvetlenül nem hozhatók kapcsolatba.
Abból, hogy egy jel autokorrelációs függvényének Fourier-transzformációja a jel teljesítményspektruma, az következik, hogy a kimenő jel teljesítményspektruma megegyezik a bemenet teljesítményspektrumának és a jel átviteli függvényének szorzatával. rendszer.
Ezt a következményt használjuk a teljesítményspektrum paraméteres módszerrel történő meghatározásához.
Definíció inkonzisztencia
A spektrális sűrűségre és az autokorrelációra vonatkozó végtelen integrálokat tartalmazó definíciókban a Khinchin–Kolmogorov-tétel egyszerűen egy Fourier-transzformáció pár, amely könnyen igazolható bármely integrálható függvényre, vagyis amelyre Fourier-transzformációk léteznek. Kényelmesebben és történetileg, olyan stacionárius jelekre, amelyekre nincs Fourier-transzformáció, a tételt az autokorrelációs függvény definíciójával alkalmazzuk a matematikai elvárás szempontjából, és nem a végtelen integrál alapján. A Khinchin–Kolmogorov-tétel egyszerűsítése gyakori a modern szakirodalomban, és elfedi A. Ya. Khinchin , Norbert Wiener és A. N. Kolmogorov hozzászólásait .
Jegyzetek
- ↑ Dennis Ward Ricker. Echo Signal Processing (neopr.) . - Springer, 2003. - ISBN 140207395X . Archivált : 2014. szeptember 19. a Wayback Machine -nál
- ↑ Leon W. Couch II digitális és analóg kommunikációs rendszerek . — 6 ed. - Prentice Hall, New Jersey, 2001. - P. 406-409.
- ↑ Krzysztof Iniewski. Vezeték nélküli technológiák : áramkörök, rendszerek és eszközök . - CRC Press , 2007. - ISBN 0849379962 . Archiválva : 2014. június 29. a Wayback Machine -nál