Fermat derékszögű háromszög tétele

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. október 27-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Fermat-féle derékszögű háromszögtétel egy nemlétezési bizonyítás a számelméletben , az egyetlen teljes bizonyíték, amelyet Pierre Fermat hagyott meg [1] . A tételnek több egyenértékű megfogalmazása van:

Ha három négyzetszám alkot egy aritmetikai sorozatot , akkor a haladás lépése nem lehet négyzet.
Nincs két olyan Pitagorasz-hármas , amelyben az egyik hármas két lába a másik hármas lába és hipotenúza lenne.
Egy derékszögű háromszögnek , amelyben mindhárom oldal hossza egy racionális szám , nem lehet egyenlő egy racionális szám négyzetével. Az így meghatározott területet egybevágó számnak nevezzük , tehát egyetlen egybevágó szám sem lehet négyzet.
Egy derékszögű háromszögnek és egy azonos területű négyzetnek nem lehet összemérhető oldala (az értékek akkor összemérhetők, ha ezeknek a mennyiségeknek a hányadosa racionális szám).
Az egyetlen racionális pont az elliptikus görbén a három triviális pont (0,0), (1,0) és (−1,0). $y^{2}=x(x-1)(x+1)$
A Diophantine-egyenletnek nincsenek teljes megoldásai. $x^{4}-y^{4}=z^{2}$

Az utolsó állítás közvetlen következménye Fermat utolsó tételének érvényessége a kitevőre . $n=4$

Megfogalmazás

A számtani progresszió négyzete

1225-ben Fibonacci olasz matematikust felkérték, hogy találjon módot az egymástól azonos távolságra lévő négyzetek hármasainak megalkotására, amelyek számtani sorozatot alkotnak [2] . A Fibonacci-megoldás leírásának egyik módja az, hogy ezeket a számokat a Pitagorasz-hármas lábainak, hipotenúzusának és lábainak összegeként ábrázoljuk , majd a progresszió lépése ennek a háromszögnek a négyes területével lesz egyenlő [3 ] . Egy későbbi, ezzel a problémával foglalkozó munkájában, amelyet a Book of Squares publikáltak , Fibonacci megjegyezte, hogy a négyzetek aritmetikai progressziójának lépése önmagában nem lehet négyzet, de ezt a tényt nem igazolta kielégítően [4] [5 ] ] .

Ha három négyzet , és olyan aritmetikai sorozatot alkotna, amelyben a lépés is négyzet , akkor ezek a számok kielégítenék a diofantusi egyenleteket $a^2$ $b^{2}$ $c^{2}$ $d^{2}$

a^{2}+d^{2}=b^{2}

és .

b^{2}+d^{2}=c^{2}

Ebben az esetben a Pitagorasz-tétel szerint két derékszögű háromszöget alkotnának egész oldalakkal, amelyekben a pár a kisebb háromszög szára és befogója, és ugyanaz a pár a nagyobb háromszög szárai. De ha (ahogyan Fibonacci kimutatta) a négyzetek számtani sorozatában nincs négyzetlépés, akkor nem lehet két olyan derékszögű háromszög, amelynek egész oldala van, amelynek két egybeeső oldala így kapcsolódik [6] . $(d,b)$

Derékszögű háromszögek területei

Mivel a négyzetek progressziójának lépése egyenlő egy Pitagorasz-háromszög négy területével, és a néggyel való szorzás nem változtatja meg, hogy egy szám négyzet-e, a négyzetlépések létezése egy aritmetikai négyzetsorozatban megegyezik a egy Pitagorasz-háromszög, amelynek területe egyenlő egy egész szám négyzetével. Ez az a változat, amelyet Fermat a bizonyítása során figyelembe vett, és amelyben kimutatta, hogy ilyen háromszögek nem léteznek [1] . Nem Fibonacci késztette Fermat erre a feladatra, hanem Diophantus könyvének elolvasása , amelyet Claude Gaspard Bachet [1] adott ki . Ez a könyv különféle speciális derékszögű háromszögeket ír le , amelyek területe négyzetekhez kapcsolódik, de nem négyzeteknek [7] .

A fenti két Pitagorasz-háromszög egyenleteit átalakítva, majd megszorozva megkapjuk a diofantusi egyenletet

b^{4}-d^{4}=(b^{2}-d^{2})(b^{2}+d^{2})=a^{2}c^{2}

amelyre leegyszerűsíthető

b^{4}-d^{4}=e^{2}.

Ezzel szemben ennek az egyenletnek bármely megoldása kibővíthető oly módon, hogy a négyzetek számtani sorozatában megkapjuk a négyzetlépést. Így ennek az egyenletnek a megoldhatósága ekvivalens egy négyzetlépés létezésével a négyzetek számtani sorozatában. De ha Fermat utolsó tétele nem lenne igaz a kitevőre , akkor bármelyik ellenpélda pont az a három négyzet lenne, amelyik kielégíti az egyenletet. Így Fermat bizonyításából, hogy nem létezik egy egész szám négyzetével egyenlő területű Pitagorasz-háromszög, az következik, hogy az egyenletnek nincsenek megoldásai, ezért (ebben az esetben) Fermat utolsó tétele igaz [7] . $n=4$

Ugyanennek a feladatnak egy másik megfogalmazása egybevágó számokat használ , olyan számokat, amelyek a racionális oldalakkal rendelkező derékszögű háromszögek területei. Ha mindkét oldalt megszorozzuk egy közös nevezővel, bármely egybevágó szám átszámítható egy Pitagorasz-háromszög területére, ami azt jelenti, hogy az egybevágó számok pontosan azok a számok, amelyeket úgy kapunk, hogy egy aritmetikai négyzetsorozat lépését megszorozzuk egy négyzet négyzetével. racionális szám. Így a négyzetek számtani sorozatában akkor és csak akkor nincs négyzetlépés, ha az 1-es szám nem kongruens [8] [9] . Egyenértékű megfogalmazás: lehetetlen, hogy egy négyzet ( geometriai ábra ) és egy derékszögű háromszög területe azonos, és minden oldala páronként összemérhető (az értékek akkor összemérhetők, ha ezeknek a mennyiségeknek a hányadosa racionális szám) [5] .

Elliptikus görbe

A Fermat-tétel egy másik ekvivalens megfogalmazása elliptikus görbét használ, amely olyan pontokból áll, amelyek derékszögű koordinátái kielégítik az egyenletet . $(x,y)$

y^{2}=x(x+1)(x-1).

Ennek az egyenletnek nyilvánvaló megoldásai vannak (0.0), (1.0) és (-1.0). Fermat tétele ekvivalens azzal az állítással, hogy a görbe csak ezeknek a pontjainak van mindkét racionális koordinátája [9] [10] .

Fermat bizonyítása

Élete során Fermat felvetette néhány más matematikusnak, hogy nem létezik négyzetes területű Pitagorasz-háromszög, de ő maga nem tette közzé a bizonyítékot. A bizonyítást azonban felírta a Claude Bachet által kiadott Diophantus Aritmetika margójára , amelyet hamarosan fia fedezett fel és adott ki posztumusz [1] [5] .

Fermat bizonyítása a végtelen leszármazás módszerét használja . Megmutatta, hogy egy Pitagorasz-háromszög négyzetes területű bármely példányából megkaphatjuk ugyanazt a példányt kisebb területtel. Mivel a Pitagorasz-háromszögek pozitív egész területűek, és nincs végtelenül csökkenő pozitív egész számok sorozata, nem létezhetnek olyan Pitagorasz-háromszögek, amelyek területe egy egész szám négyzete [1] [5] .

Tegyük fel, hogy , és egész oldalai egy derékszögű háromszögnek, amelynek területe egy egész szám négyzete. A közös tényezőkkel való osztás után a háromszöget egyszerűnek tekinthetjük [5] , az egyszerű Pitagorasz-háromszögekre ismert képletekből pedig feltételezhetjük a , és , aminek eredményeként a feladat átváltozik a és ( melyek közül az egyik a páros), olyan, hogy egy négyzet. A négy lineáris tényező , , és koprím, ezért maguknak négyzeteknek kell lenniük. Hagyjuk és . Fontos megjegyezni, hogy és , és páratlannak kell lennie, mivel csak az egyik szám páros , a másik pedig páratlan. Így, és , és párosak, és az egyik osztható 4-gyel. Ebből a két számból Fermat két másik számot kap, és , amelyek közül az egyik páros. Mivel ez egy négyzet, és egy másik egyszerű Pitagorasz-háromszög lábai, amelynek területe egyenlő . Mivel maga négyzet, és mivel páros, négyzet. Így minden olyan Pitagorasz-háromszög, amelynek területe egyenlő egy egész szám négyzetével, egy kisebb, négyzetterületű Pitagorasz-háromszöghez vezet, amely befejezi a bizonyítást [1] [7] [5] . $x$ $y$ $z$ $x=2pq$ $y=p^{2}-q^{2}$ $z=p^{2}+q^{2}$ $p$ $q$ $pq(p^{2}-q^{2})$ $p$ $q$ $p+q$ $pq$ $p+q=r^{2}$ $pq=s^{2}$ $r$ $s$ $p$ $q$ $(rs)$ $(r+s)$ $u=(rs)/2$ $v=(r+s)/2$ $u^{2}+v^{2}=p$ $u$ $v$ $(uv)/2=q/4$ $q$ $UV$ $q/4$

Linkek

↑ 1 2 3 4 5 6 G. Edwards. Fermat utolsó tétele: Genetikai bevezetés az algebrai számelméletbe. - M .: Mir, 1980. - S. 24.; 1.6 A Fermat egy bizonyítéka.
↑ Michael John. A matematika születése: ókortól 1300-ig. - Infobase Publishing, 2006. - 124. o. - ISBN 978-0-8160-5423-7 .
↑ Albert H. Beiler. Rekreációk a számelméletben: A matematika királynője szórakoztat. - Courier Corporation, 1964. - P. 153. - ISBN 978-0-486-21096-4 .
↑ Øystein Ore. Számelmélet és története. - Courier Dover Corporation, 2012. - S. 202-203. — ISBN 978-0-486-13643-1 .
↑ 1 2 3 4 5 6 Leonard Eugene Dickson. A számelmélet története. - American Mathematical Society, 1999. - V. 2. - S. 615-626. — ISBN 978-0-8218-1935-7 .
↑ Joshua Cooper, Chris Poirel. Pitagorasz-partíció-regularitás és rendezett hármas rendszerek az összeg tulajdonsággal. - 2008. - T. 0809 . - S. 3478 . - . - arXiv : 0809.3478 .
↑ 1 2 3 John Stillwell. számok és geometria. - Springer, 1998. - S. 131-133. - (Matematika alapképzési szövegei). - ISBN 978-0-387-98289-2 .
↑ Keith Conrad. A kongruens számprobléma // Harvard College Mathematical Review. - 2008. - 2. évf. , szám. 2 . – 58–73 . Az eredetiből archiválva: 2013. január 20.
↑ 12 Neal Koblitz . Az elliptikus görbék és a moduláris formák bemutatása. - Springer-Verlag, 1984. - (Diplomás szövegek matematikából). - ISBN 0-387-97966-2 .
↑ Kazuya Kato, Takeshi Saitō. Számelmélet: Fermat álma. - American Mathematical Society, 2000. - P. 17. - ISBN 978-0-8218-0863-4 .

Külső linkek

Weisstein, Eric W. Fermat derékszögű háromszög-tétele (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyen .