Nash-Kuiper tétel

A Nash-Kuiper-tétel kimondja, hogy egy -dimenziós Riemann-sokaság bármely sima rövid beágyazódása (vagy bemerülése ) egy euklideszi térbe at -kor közelíthető -sima izometrikus beágyazással (vagy bemerítéssel). $n$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{q))$ $q>n$ $C^1$

Megfogalmazás

Az "izometrikus beágyazás/merítés" kifejezés itt beágyazást/merítést jelent, amely megőrzi a görbék hosszát.

Pontosabban:

Legyen egy Riemann-féle sokaság , és legyen egy rövid -sima beágyazás (vagy merítés ) az euklideszi térbe és . Ekkor bármelyikhez létezik olyan beágyazás (illetve bemerülés) , hogy $(M,g)$ ${\displaystyle f\colon M^{n}\to \mathbb {R} ^{q))$ ${\displaystyle C^{\infty ))$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{q))$ $q>n$ $\varepsilon >0$ ${\displaystyle f_{\varepsilon }\colon M^{n}\to \mathbb {R} ^{q))$

${\displaystyle f_{\varepsilon ))$ sima , $C^1$
(izometrikus) bármely két érintővektorra egy pont érintőterében : $v,w\in T_{x}(M)$ $x\-ben M$

g(v,w)=\langle df_{\epsilon }(v),df_{\epsilon }(w)\rangle .

( -közelség) mindenkinek . $C^{0}$ $|f(x)-f_{\varepszilon }(x)|<\varepszilon$ $x\-ben M$

Ez az eredmény erősen ellentmond az intuitívnak . Ebből különösen az következik, hogy bármilyen zárt orientált felület izometrikusan beágyazható egy tetszőleges kis háromdimenziós golyóba. A Gauss-képletből következik , hogy egy ilyen beágyazás lehetetlen az -embedding osztályban. $C^1$ $C^{2}$

Történelem

A tételt Nash ehelyett a feltevéssel bizonyította, és Kuiper egy egyszerű trükk segítségével a jelen formába hozta . $q>n+1$ $q>n$

Általánosítási variációk

Nash-tétel a szabályos beágyazásokról
Gromov hajtástétele kimondja , hogy bármely rövid leképezéshez egy -dimenziós Riemann -sokaságtól ott van egy tetszőlegesen szoros (nem sima) leképezés, amely megőrzi a görbék hosszát. $n$ $\mathbb {R} ^{n}$

Irodalom

N. H. Kuiper . C 1 -izometrikus beágyazásokról // Matematika . - 1957. - T. 1 , 2. sz . - S. 17-28 . (Orosz)

J. Nash . C 1 -izometrikus beágyazások // Matematika . - 1957. - T. 1 , 2. sz . - P. 3-16 . (Orosz)