Nash-tétel a szabályos beágyazásokról

Nash reguláris beágyazási tétele , amelyet néha a Riemann-geometria alaptételének is neveznek , az az állítás, hogy bármely Riemann-féle sokaság lehetővé teszi a sima beágyazást egy kellően nagy dimenziójú euklideszi térben . Formálisan a , osztályú bármely dimenziós Riemann - sokaság megenged egy izometrikus beágyazást kellően nagy . $m$ ${\megjelenítési stílus (V^{m},\;g)}$ $C^{r}$ $3\leqslant r\leqslant \infty$ $C^{r}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $n$

John Nash amerikai matematikus által megalkotott Nash explicit becslést is adott a -ra , amelyet később többször is javítottak, különösen a tétel [1] -re érvényes . $n\geqslant m(m+1)(3m+11)/2$ $n\geqslant m^{2}+10m+3$

A bizonyítás egy új módszert vezetett be a differenciálegyenletek megoldására, az úgynevezett Nash-Moser tételt , amelyet eredetileg Nash bizonyított. A bizonyítást lényegesen leegyszerűsítette Matthias Günther . [2]

Változatok és általánosítások

A Nash-Kuiper-tétel hasonló eredmény a -sima beágyazásoknál. $C^1$
Hasonló tétel pszeudo-Riemann-féle sokaságra következik a Nash-tételből is, de a Nash-Moser-tétel nélkül is bebizonyítható . Egy pszeudoeuklideszi térben izometrikus beágyazást csak Nash-csavarok segítségével lehet megszerkeszteni.
Bármely sima, kompakt Finsler-elosztó , szigorúan konvex normákkal, lehetővé teszi az izometrikus beágyazást egy véges dimenziós Banach térben . [3] .
Hasonló eredmény érvényes az analitikus beágyazásokra is, amelyeket szintén Nash hozott létre , de jóval később [4] .
Pozniak tétele kimondja, hogy a síkban lévő Riemann-metrikával rendelkező bármely korong megengedi az izometrikus bemerülést a 4 dimenziós euklideszi térben. [5] $(\mathbb {R} ^{2},g)$

Jegyzetek

↑ lásd: 319. o., Gromov M. , Parciális differenciális relációk, Mir 1990
↑ Matthias Günther, A Riemann-féle sokaságok izometrikus beágyazásával kapcsolatos perturbációs problémáról, Annals of Global Analysis and Geometry 7 (1989), 69-77.
↑ D. Yu. Burago , S. V. Ivanov . Finsler-elosztók izometrikus beágyazásai // Algebra i Analiz. - 1993. - V. 5 , 1. sz . - S. 179-192 . (Orosz)
↑ J. Nash . Implicit függvényproblémák megoldásainak elemzése analitikai bemeneti adatokkal // Uspekhi Mat . Nauk . - 1971. - T. 26 , 4. szám (160) . - S. 217-226 .
↑ E. G. Poznyak . Kétdimenziós Riemann-metrikák izometrikus bemerülései euklideszi terekben // Uspekhi Mat . - 1973. - T. 28 , 4. szám (172) . – 47–76 .

Irodalom

J. Nash . A Riemann-elosztók beágyazási problémája // Uspekhi Mat . - 1971. - T. 26 , 4. szám (160) . - S. 173-216 .