Levi folytonossági tétele

A Levi-tétel a valószínűségszámításban egy olyan eredmény, amely összekapcsolja a valószínűségi változók jellemző függvényeinek pontszerű konvergenciáját ezen valószínűségi változók eloszlásbeli konvergenciájával .

Megfogalmazás

Legyen valószínűségi változók sorozata, amely nem feltétlenül ugyanazon a valószínűségi téren van definiálva . Jelöljük szimbólummal a valószínűségi változó karakterisztikus függvényét , ahol . Akkor, ha eloszlás szerint a , és a karakterisztikus függvénye , akkor $\{X_n\}_{n=1}^{\infty}$ $X_n$ $n\in \mathbb {N}$ $\varphi _{n}(t)$ $X_{n}\to X$ $n\to\infty$ $\varphi (t)$ $x$

\varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\quad \forall t\in \mathbb {R}

Megfordítva, ha , ahol egy nullánál folytonos valós argumentum függvénye, akkor valamelyik valószínűségi változó jellemző függvénye , és $\varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\;\forall t\in \mathbb {R}$ $\varphi \in C(0)$ $\varphi (t)$ $x$

X_{n}\to X

címen történő elosztással .

n\to\infty

Megjegyzés

Mivel bármely valószínűségi változó karakterisztikus függvénye folytonos nullán, a második állításnak a következő triviális következménye van. Ha hol a karakterisztikus függvénye , és a karakterisztikus függvénye , akkor a -nál eloszlás szerint . Ennek a ténynek a felhasználását az eloszlási konvergencia bizonyítására néha karakterisztikus függvények módszerének is nevezik . A karakterisztikus függvények módszere a klasszikus központi határtétel bizonyításának standard módja . $\varphi _{n}(t)\to \varphi (t)\;\forall t\in \mathbb {R}$ $\varphi _{n}(t)$ $X_n$ $\varphi (t)$ $x$ $X_{n}\to X$ $n\to\infty$

Levi folytonossági tétele

Megfogalmazás

Megjegyzés

Lásd még