Kronecker-Cappelli tétel

A Kronecker-Capelli tétel egy lineáris algebrai egyenletrendszer kompatibilitásának kritériuma:

Egy lineáris algebrai egyenletrendszer akkor és csak akkor konzisztens , ha főmátrixának rangja egyenlő a kiterjesztett mátrix rangjával.

Ahhoz, hogy egy lineáris rendszer kompatibilis legyen , szükséges és elegendő, hogy ennek a rendszernek a kiterjesztett mátrixának rangja egyenlő legyen a főmátrix rangjával . Leopold Kronecker, Alfredo Capelli bizonyította .

Magyarázatok

Az egyenletrendszer akkor és csak akkor oldható meg , ha hol van a mátrixból az [1] oszlop hozzárendelésével kapott kiterjesztett mátrix . $Ax=B$ $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} (A|B)$ ${\megjelenítési stílus (A|B)}$ $A$ $B$

Bizonyítás (rendszerkompatibilitási feltételek)

Szükségesség

Legyen következetes a rendszer . Aztán vannak olyan számok , hogy . Ezért az oszlop a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja . Abból, hogy egy mátrix rangja nem változik, ha egy sort (oszlopot) törölnek a sorai (oszlopai) rendszeréből, vagy olyan sort (oszlopot) rendelnek hozzá, amely más sorok (oszlopok) lineáris kombinációja, ebből az következik . $x_{1},\pontok ,x_{n}\in {\mathbb R}$ $b=x_{1}a_{1}+\pontok +x_{n}a_{n}$ $b$ $a_1,\pontok,a_n$ $A$ $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} A|B$

Elegendőség

Hadd . Vegyünk néhány alapvető minort a mátrixban . Mivel akkor ez lesz a mátrix alapmollja is . Ekkor a bázis- moll tétel szerint a mátrix utolsó oszlopa az alaposzlopok , azaz a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja lesz . Ezért a rendszer szabad tagjainak oszlopa a mátrix oszlopainak lineáris kombinációja . $\operátornév {rang} A=\operátornév {rang} A|B=r$ $A$ $\operatorname {rang} A|B=r$ $A|B$ $A|B$ $A$ $A$

Következmények

A rendszer fő változóinak száma megegyezik a rendszer rangjával.
Konzisztens rendszer akkor lesz definiálva (megoldása egyedi), ha a rendszer rangja megegyezik az összes változó számával.

Lásd még

Jegyzetek

↑ A lineáris algebra feladatai és tételei, 1996 , p. 65.

Irodalom

V. A. Ilyin, G. D. Kim Lineáris algebra és analitikus geometria, Moszkva: TK Velbi, Prospekt Publishing House, 2007, 400 pp.
Prasolov VV Lineáris algebra feladatai és tételei. — M .: Nauka, 1996. — 304 p. - ISBN 5-02-014727-3 .