Cauchy-féle átlagérték tétel

Cauchy átlagérték tétele a véges növekmény képlet általánosítása .

Megfogalmazás

Legyen két függvény és legyen megadva , hogy:

1. és az intervallumon meghatározottak és folytonosak ;
2. származékai és az intervallumon meghatározottak és végesek ;
3. a derivált nem tűnik el az intervallumon (tehát Rolle tétele szerint , ).

Akkor létezik , amelyre igaz:

Jegyzetek

• Ha ezt kifejezetten megköveteljük , akkor a 3. feltételt gyengíthetjük, és csak azt követelhetjük meg, és nem tűnnek el egyszerre az intervallumon .
• A 3. feltételt teljesen kihagyhatja, ha átírja a képletet a következőképpen: .
• Geometriailag az állítás újrafogalmazható a következőképpen: ha és a síkon a mozgás törvénye be van állítva (vagyis az abszcisszát és az ordinátát a paraméteren keresztül határozzuk meg ), akkor egy ilyen görbe bármely szakaszán, amelyet a paraméterek , ill . , van egy érintővektor, amely kollineáris a tól -ig terjedő eltolási vektorral .

Bizonyítás

Ennek bizonyítására bemutatjuk a függvényt

Könnyen belátható, hogy a Rolle-tétel feltételei teljesülnek rá. Ezzel a tétellel azt kapjuk, hogy van egy pont , ahol a függvény deriváltja egyenlő nullával:

Ebben az egyenlőségben a második tagot jobbra mozgatva egy képletet kapunk a tétel legáltalánosabb megfogalmazásából.

Az eredeti megfogalmazásban marad az egyenlőség elosztása és -vel . Mindkét szám nullától eltérő lesz, még akkor is, ha a 3. követelményt úgy enyhítik, hogy ne legyenek közös nullák és esetén : ez kifejezetten szükséges, és ha , akkor

.

De mivel , ebből az következik, hogy ez ellentmondás a feltétellel.

Irodalom

• Cauchy átlagérték tétele az Encyclopedia of Mathematics-ban