Kakutani fixpont tétel

Kakutani fixpont tétele Brouwer fixpont tételének általánosítása többértékű függvényekre.

Megfogalmazás

Legyen az euklideszi tér egy nem üres kompakt konvex részhalmaza . Legyen egy többértékű függvény -on , úgy hogy a halmaz nem üres és konvex mindenre , és zárt gráfja van, vagyis a halmaz $S$ $\phi \colon S\to 2^{S}$ $S$ $\phi (x)\subset S$ $x\in S$

{\displaystyle \{\,(x,y)\in S\times S\mid \,y\in \phi (x)\))

zárva van a közvetlen termék topológiában . Ekkor van egy fix pontja , vagyis létezik olyan pont , amelyik . $S\times S$ $\phi(x)$ $x\in S$ $x\in \phi (x)$

Megjegyzés

A következő példa azt mutatja, hogy elengedhetetlen az a követelmény, hogy a halmazok konvexek legyenek . $\phi(x)$

Rögzítsünk egy kellően kis pozitív számot , és vegyük figyelembe a függvényt $\varepsilon$

\varphi (x)=\{\,y\in [0,1]\mid |xy|\geq \varepsilon \,\},

szegmensen definiálva . Vegyük észre, hogy a halmaz nem konvex, és ennek a függvénynek nincs fix pontja, bár a tétel minden egyéb követelményét kielégíti. $[0,1]$ $\phi ({\tfrac {1}{2)))$

A bizonyítékokról

Kakutani tétele közelítéssel redukálható Brouwer tételére .

Kakutani tétele Brouwer tételéhez hasonló módon származtatható Sperner lemmájából .

Történelem

A tételt Shizuo Kakutani bizonyította 1941-ben, [1] hogy igazolja a minimax tételt egy antagonista játékban .

John Nash használta a Nash-egyensúly létezésének bizonyítására abban a híres kétoldalas tanulmányban [2] , amely elnyerte számára a közgazdasági Nobel-díjat .

Jegyzetek

↑ Kakutani, Shizuo . Brouwer fixpont tételének általánosítása (határozatlan) // Duke Mathematical Journal. - 1941. - T. 8 , 3. sz . - S. 457-459 . - doi : 10.1215/S0012-7094-41-00838-4 .
↑ Nash, JF, Jr. Egyensúlyi pontok az N-személyes játékokban (angol) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : folyóirat. - 1950. - 1. évf. 36 , sz. 1 . - P. 48-49 . - doi : 10.1073/pnas.36.1.48 . — PMID 16588946 .

Linkek

Vorobjov N.N. A játékelmélet alapjai. nem kooperatív játékok. - M.: Nauka , 1984.
Savvateev A.V. A játékelmélet alaptételei // Össz-intézeti szeminárium "Colloquium of MIAN" 2014. december 4. 16:00, Moszkva, a MIAN konferenciaterme (Gubkina utca 8.).