Wolstenholme tétele

Wolstenholme tétele kimondja, hogy bármely prímszám esetén az összehasonlítás az $p>3$

{\binom {2p}{p}}\equiv 2{\pmod {p^{3}}},

ahol az átlagos binomiális együttható . Egyenértékű összehasonlítás $\textstyle {\binom {2p}{p}}$

{\binom {ap}{bp}}\equiv {\binom {a}{b}}{\pmod {p^{3}}}.

A Wolstenholm-tételt kielégítő összetett számok ismeretlenek , és van egy hipotézis, hogy nem léteznek. Azokat a prímeket, amelyek megfelelnek egy hasonló modulo-összehasonlításnak , Wolstenholm-prímeknek nevezzük . ${\displaystyle p^{4))$

Történelem

A tételt először Joseph Wolstenholm bizonyította 1862 - ben . 1819- ben Charles Babbage hasonló modulo kongruenciát mutatott be , ami minden p prímszámra igaz . Wolstenholm tételének második megfogalmazását JWL Glaisher adta meg Lukács tételének hatására . $p^{2}$

Ahogy maga Wolstenholm is megállapította, tételét (általánosított) harmonikus számokkal való összehasonlításból kaptuk :

1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots +{\frac {1}{p-1}}\equiv 0{\pmod {p ^{2}}},

1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\pontok +{\frac {1}{(p-1) ^{2}}}\equiv 0{\pmod {p}}.

Egyszerű Wolstenholm

A p prímszámot akkor és csak akkor nevezzük Wolstenholme -prímnek , ha :

{\binom {2p}{p}}\equiv 2{\pmod {p^{4}}}.

Eddig csak 2 egyszerű Wolstenholm ismert: 16843 és 2124679 ( A088164 sorozat az OEIS -ben ); a többi olyan elsőrendű, ha létezik, felülmúlja a . $10^{9}$

Feltehetően úgy viselkedik, mint egy pszeudo-véletlen szám, amely egyenletesen oszlik el az intervallumban . Heurisztikusan feltételezzük, hogy a Wolstenholme-prímek számát az intervallumban a következőre becsüljük . Ezekből a heurisztikus megfontolásokból az következik, hogy a következő wolstenholmi prím és között van . $\textstyle {\frac {{\binom {2p}{p}}-2}{p^{3}}}\mod p$ $[0,p-1]$ ${\megjelenítési stílus (K,N)}$ $\ln \ln N-\ln \ln K$ $10^{9}$ $10^{{24}}$

Hasonló heurisztikus érvek azt állítják, hogy nincsenek olyan prímszámok, amelyekre az összehasonlítást modulo módon végezzük . $p^{5}$

Bizonyítás

Wolstenholm tételét többféleképpen is bizonyíthatjuk.

Kombinatorikus-algebrai bizonyítás

Itt van Glashier bizonyítása kombinatorika és algebra segítségével .

Legyen p prímszám, a , b pedig nemnegatív egész szám. Legyen , , egy p elem halmaza, amely p hosszúságú gyűrűkre van osztva . Minden gyűrűre egy forgáscsoport hat . Így a csoport az egész A -ra hat . Legyen B a b·p elemek A halmazának tetszőleges részhalmaza . A B halmaz többféleképpen választható . A B halmaz minden pályája a csoport hatása alatt tartalmaz elemeket, ahol k a B halmaz és a gyűrűk részleges metszéspontjainak száma . Vannak 1 hosszúságú pályák és nincsenek p hosszúságú pályák . Így megkapjuk Babbage tételét: $A=(a_{{ij}})$ $i=1,\dots ,a$ $j=1,\dots ,p$ $K_{i}=(a_{ij})$ $j=1,\dots ,p$ ${\displaystyle C_{p}\cong \mathbb {Z} _{p))$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{a))$ $\textstyle {\binom {ap}{bp))$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{a))$ $p^{k}$ $K_{i}$ $\textstyle {\binom {a}{b))$

{\binom {ap}{bp}}\equiv {\binom {a}{b}}{\pmod {p^{2}}}.

A hosszúságú pályákat kiküszöbölve kapjuk $p^{2}$

{\binom {ap}{bp}}\equiv {\binom {a}{b}}+{\binom {a}{2}}\left({\binom {2p}{p}}- 2\jobbra){\binom {a-2}{b-1}}{\pmod {p^{3}}}.

Más szekvenciák mellett ez az eset összehasonlítása megadja a Wolstenholm-tétel második alakjának általános esetét. $a=2$ $b=1$

A kombinatorikáról áttérünk az algebrára, és polinomiális érvelést alkalmazunk. B -t rögzítve összehasonlítást kapunk az a polinomokkal mindkét oldalon, ami igaz minden nem negatív a -ra . Ezért az összehasonlítás igaz bármely a egész számra . Különösen a esetén kapunk egy összehasonlítást: $a=-1$ $b=1$

{\binom {-p}{p}}\equiv {\binom {-1}{1}}+{\binom {-1}{2}}\left({\binom {2p}{p }}-2\jobbra){\pmod {p^{3}}}.

Mert a

{\binom {-p}{p}}={\frac {(-1)^{p}}{2}}{\binom {2p}{p}},

akkor

3{\binom {2p}{p}}\equiv 6{\pmod {p^{3}}}.

A esetén 3-mal töröljük, és a bizonyítás kész. $p\neq 3$

Hasonló modulo összehasonlítás : ${\displaystyle p^{4))$

{\binom {ap}{bp}}\equiv {\binom {a}{b}}{\pmod {p^{4}}}

minden természetes számra a , b akkor és csak akkor igaz, ha , vagyis akkor és csak akkor, ha p Wolstenholm-prím. $a=2$ $b=1$

Számelméleti bizonyítás

A binomiális együtthatót a faktoriálisok arányaként ábrázoljuk , töröljük p ! és töröljük p -t a binomiális együtthatóban, és mozgassuk a számlálót jobbra, kapjuk:

{\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{p-1}\equiv (p-1)!{\pmod {p^{3))))

A bal oldal egy p - beli polinom , szorozzuk meg a zárójeleket, és a kapott polinomban dobjuk el p 3-nál nagyobb hatványait , kapjuk:

{\displaystyle a_{2}p^{2}+a_{1}p+(p-1)!\equiv (p-1)!{\pmod {p^{3))))

Szintén töröljük p hatványát a modulussal együtt, majd így : $(p-1)!$ $(p-1)!$

{\displaystyle a_{2}p+a_{1}\equiv 0{\pmod {p^{2))))

vegye észre, az

a_{1}=\sum \limits _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{k)),

a_{2}=\sum \limits _{1\leq i<j\leq p-1}{\frac {1}{ij)).

Legyen bijekció és automorfizmus . _ Akkor $T:x\mapsto gx$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{+))$ ${\mathbb {Z}}_{p}^{{\times }}$

a_{2}=\sum \limits _{1\leq i<j\leq p-1}{\frac {1}{ij))\equiv \sum \limits _{1\leq i<j \leq p-1}{\frac {1}{T(i)T(j)}}={\frac {1}{g^{2}}}={\frac {a_{2}}{g ^{2))}{\pmod {p)),

ami azt jelenti . $a_{2}\equiv 0{\pmod {p))$

Végül,

a_{1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}\Leftrightarrow 2a_{1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}

2a_{1}=\sum \limits _{k=1}^{p-1}\left({\frac {1}{k))+{\frac {1}{pk))\right )=-p\sum \limits _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{k^{2}}}\equiv 0{\pmod {p^{2}}},

mert a

\sum \limits _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{k^{2}}}\equiv \left(\sum \limits _{k=1}^{ p-1}{\frac {1}{k}}\right)^{2}-a_{2}\equiv 0{\pmod {p}}

Így a tétel bizonyítva van.

Általánosítások

Egy általánosabb állítás is igaz:

{\binom {ap^{n}}{bp^{n}}}\equiv {\binom {ap^{n-1}}{bp^{n-1}}}{\pmod {p ^{3n}}}

Egy tétel megfordítása mint sejtés

A Wolstenholme-tétellel ellentétes állítás egy hipotézis, nevezetesen, ha:

{\binom {2n}{n}}\equiv 2{\pmod {n^{k}}},

ha k = 3, akkor n prím. Ez a k értéke az a minimum, amelyre nem ismertek összetett összehasonlító megoldások:

k = 1 esetén a prímszámok mellett az OEIS -ben az A082180 sorozatot alkotó számok is kielégítik az összehasonlítást ; köztük a prímek négyzete és több összetett szám (az első nem triviális páratlan példa: n = 27173 = 29 937).
ha k = 2, a wolstenholmi prímek négyzete kielégíti az összehasonlítást (azonban nem ismertek olyan összetett számok, amelyek nem az ilyen összehasonlítást kielégítő prímszámok hatványai).

Ha egy összetett szám kielégíti az összehasonlítást, akkor ebből nem következik, hogy

{\binom {an}{bn}}\equiv {\binom {a}{b}}{\pmod {n^{k}}}.

Még ha a Wolstenholm-tétel megfordítása igaz is, nehéz primalitástesztként használni, mert nincs ismert módszer a modulo binomiális együttható polinomiális időben történő kiszámítására . Másrészt, ha igaz, a Wolstenholm-tétel megfordítása hasznos lehet prímszámok diofantini reprezentációjának megalkotásához (lásd Hilbert tizedik problémáját ), valamint például Wilson tételét . ${\tbinom {2n}{n))$ $\textstyle n^{3}$

Lásd még

Fermat kis tétele
Wilson tétele
Prime Wieferich
Wilson szám
Fibonacci Prime – Wiferich
A prímszámok speciális osztályainak listája

Jegyzetek

Linkek

Babbage, C. (1819), A prímszámokra vonatkozó tétel bemutatása , The Edinburgh philosophical Journal 1. kötet : 46–49 , < https://books.google.com/books?id=KrA-AAAAYAAJ&pg=PA46 >
Wolstenholme, J. (1862), A prímszámok bizonyos tulajdonságairól , The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 5. kötet: 35–39 , < https://books.google.com/books?id=vL0KAAAAIAAJ&pg=PA35 >
McIntosh, RJ (1995), A Wolstenholme-tétel megfordításán , Acta Arithmetica 71(4): 381–389 , < http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa71/aa7144.pdf >
E. B. Vinberg, „Binomiális együtthatók meglepő aritmetikai tulajdonságai”, Mat. megvilágosodás, ser. 3, 12, MCNMO Publishing House, M., 2008, 33-42
Az elsődleges szótár: Wolstenholme prime
A Wolstenholme-prímek keresésének állapota