Viviani tétele

Viviani tétele egy olyan állítás a háromszög geometriájában, amely szerint egy egyenlő oldalú háromszögben egy tetszőleges pont és annak oldalai közötti távolságok összege állandó és egyenlő a háromszög magasságával . Vincenzo Viviani olasz matematikusról kapta a nevét .

Egy tetszőleges belső pont és az oldalak közötti távolságok összegének állandóságát tekintve az állítás egyenlő oldalú sokszögekre és egyenlő szögű sokszögekre általánosítható [1] .

Bizonyítás

A tétel a háromszögek területeinek összehasonlításával igazolható. Legyen egy egyenlő oldalú háromszög, amelyben - a magasság, - az egyes oldalak hossza. A pontot tetszőlegesen választjuk ki a háromszög belsejében, majd , , a pont és a háromszög oldalai közötti távolságok . Ezután a terület a következőképpen határozható meg: $\háromszög ABC$ $h$ $s$ $P$ $l$ $m$ $n$ $P$ $\háromszög ABC$

{\displaystyle S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}+S_{\triangle BCP))

amelyből a következő összefüggések következnek:

{\frac {sh}{2}}={\frac {sl}{2}}+{\frac {sm}{2}}+{\frac {sn}{2}}

vagyis:

h=\ell +m+n

Alkalmazások

Viviani tétele lehetővé teszi, hogy háromkomponensű diagramokon kapjuk meg a pontok koordinátáit egy egyenlő oldalú háromszög oldalaival párhuzamos vonalak rajzolásával. Különösen gyúlékonysági diagramok ilyen

Általánosabb esetben lehetővé teszik a koordináták ugyanúgy beállítását egy szabályos szimplexen .

Jegyzetek

↑ Elias Abboud "On Viviani's Theorem and its Extensions" Archiválva : 2018. február 25., a Wayback Machine pp. 2, 11

Linkek

Weisstein, Eric W. Viviani tétele (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Li Zhou, Viviani politópok és Fermat-pontok
Viviani tétele: Mi ez? a Vágja le a csomót .
Viviani tétele , Jay Warendorff, a Wolfram Demonstrations Project .
Viviani tétele: Vizualizáció + Bizonyítás a YouTube -on