Brun tétele

Brun tétele kimondja, hogy az ikrek reciprokainak összege ( olyan prímpárok , amelyek csak 2-vel különböznek egymástól) a Brun-állandóként ismert véges értékhez konvergálnak , amelyet B 2 -vel jelölünk ( A065421 szekvencia az OEIS -ben ). Brun tételét Viggo Brun igazolta 1919-ben, és történelmi jelentőséggel bír a szitamódszerek szempontjából .

Aszimptotikus határok ikerszámokhoz

A reciprok összegének ikerszámokhoz való konvergenciája az ikerszámok sorozata sűrűségének korlátjából következik. Jelölje a prímszámok számát , amelyekre p + 2 is prím (azaz az ikrek száma nem haladja meg az x -et ). Akkor nekünk van $\pi _{2}(x)$ $p\leqslant x$ $\pi _{2}(x)$ $x\geqslant 3$

\pi _{2}(x)=O\left({\frac {x(\log \log x)^{2}}{(\log x)^{2}}}\jobb).

Vagyis az ikerszámok szinte logaritmikus tényezővel ritkábbak, mint a prímszámok. Ebből a megszorításból az következik, hogy az ikrek reciprokainak összege konvergál, vagy más szóval az ikrek egy kis halmazt alkotnak . Explicit összeg

\sum \limits _{p\,:\,p+2\in \mathbb {P} }{\left(({\frac {1}{p))+{\frac {1}{p +2}}}\jobbra)}=\bal({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\jobbra)+\bal({{\frac {1} {5}}+{\frac {1}{7}}}\jobbra)+\bal({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\jobbra)+ \cdots

vagy véges számú tagja van, vagy végtelen számú tagja van, de konvergál a Brun-állandóként ismert értékhez.

Az a tény, hogy a prímszámok reciprok összege eltér, azt jelenti, hogy végtelen sok prím van. Mivel az ikerszámok reciprokainak összege konvergál, ebből az eredményből nem lehet arra következtetni, hogy végtelen sok ikerszám létezik. A Brun-állandó csak végtelen számú iker esetén irracionális .

Numerikus pontszámok

Az ikerszámok 10 14 -ig történő kiszámításakor (és közben Pentium FDIV hibát talált ) Thomas R. Szépen heurisztikusan becsülte a Brun-állandót körülbelül 1,902160578-ra [1] . Szépen kiterjesztette a számítást 1,6⋅10 15 -re 2010. január 18-ig, de nem ez volt a legnagyobb ilyen típusú számítás.

2002-ben Pascal Seba és Patrick Demichel az összes ikerszámot felhasználta 10 16 -ig, és megkapta a becslést [2]

B2 ≈ 1,902160583104 .

A becslés alapja az 1,830484424658... 10 16 -nál kisebb ikerszámok összegének becslése . Dominic Clive kimutatta (egy kiadatlan absztraktban), hogy B 2 < 2,1754, feltételezve, hogy a kiterjesztett Riemann-hipotézis [3] igaz .

Az ikernégyesek Brun-állandója is létezik . A prímnégyes két elsődleges ikerpár, amelyeket 4-es távolság választ el (a lehető legkisebb távolság). Több négyes - (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). A négyesek Brun-állandója, jelölése B 4 , az összes négyes reciprok összege:

B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13} }\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19} }\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109} }\right)+\cdots

És ez az összeg

B 4 \u003d 0,87058 83800 ± 0,00000 00005, a hiba megbízhatósági szintje 99% (Nicely szerint) [4] .

Ezt az állandót nem szabad összetéveszteni a rokon prímek Brun-állandójával, azaz a ( p , p + 4 formájú prímpárokkal ), mivel ezt az állandót is B 4 -nek írjuk .

További eredmények

Legyen ( A005597 sorozat az OEIS -ben ) ikerprímek állandója . Van egy hipotézis, hogy $C_{2}=0,6601\ldots$

\pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.

Különösen,

{\displaystyle \pi _{2}(x)<(2C_{2}+\varepszilon ){\frac {x}{(\log x)^{2))))

minden kellően nagy x esetén . $\varepsilon >0$

A fent említett speciális esetek közül sok bebizonyosodott. Nemrég Jie Wu bebizonyította, hogy elég nagy x esetén,

{\displaystyle \pi _{2}(x)<4,5{\frac {x}{(\log x)^{2))))

ahol a 4,5 a fenti esetnek felel meg. $\varepsilon \approx 3.18$

A populáris kultúrában

Brun állandó számait egy 1 902 160 540 dolláros ajánlatban használták a Nortel szabadalmi aukción . Az alkalmazást a Google tette közzé, és egyike volt a három matematikai állandókon alapuló Google-alkalmazásnak [5] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ Szépen, Thomas R. Az ikerprímek és a Brun-konstans 1,6*10^15 számbavétele (a hivatkozás nem elérhető) . A prímszámok számítástechnikai kutatásának néhány eredménye (Computational Number Theory) (2010. január 18.). Letöltve: 2010. február 16. Az eredetiből archiválva : 2013. december 8.. (határozatlan)
↑ Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier Bevezetés az ikerprímekbe és a Brun-féle konstans számításba . Letöltve: 2018. január 5. Az eredetiből archiválva : 2018. január 6.. (határozatlan)
↑ Klyve, Dominic Explicit korlátok ikerprímeken és Brun konstansán . Letöltve: 2015. május 13. Az eredetiből archiválva : 2015. május 18.. (határozatlan)
↑ Szépen, Thomas R. Felsorolás 1,6⋅10 15 fő négyeshez (a hivatkozás nem elérhető) . A prímszámok számítástechnikai kutatásának néhány eredménye (Computational Number Theory) (2008. augusztus 26.). Letöltve: 2009. március 9. Az eredetiből archiválva : 2008. december 30.. (határozatlan)
↑ Damouni, Nadia. Dealtalk: A Google "pi" ajánlatot tett a Nortel szabadalmakért és elveszett (nem elérhető link) . Reuters (2011. július 1.). Letöltve: 2011. július 6. Az eredetiből archiválva : 2011. július 3.. (határozatlan)

Irodalom

Viggo Brown . Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare // Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. - 1915. - T. B34 , sz. 8 .
Viggo Brown . A sorozat 1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/29+1/31+1/41+1/43+1/59+1/61+ ..., où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie (Fr) // Bulletin des Sciences Mathématiques. - 1919. - T. 43 . – S. 100–104, 124–128 .
Alina Carmen Cojocaru, M. Ram Murty. Bevezetés a szitamódszerekbe és alkalmazásaikba. - Cambridge University Press , 2005. - V. 66. - S. 73-74. — (Londoni Mathematical Society Student Texts). — ISBN 0-521-61275-6 .
Elementare Zahlentheorie. - Lipcse, Németország: Hirzel, 1927. Újranyomva: Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1990.
William J. LeVeque. A számelmélet alapjai . - New York City: Dover Publishing, 1996. - P. 1-288 . - ISBN 0-486-68906-9 . Egy modernebb bizonyítékot tartalmaz.
Wu J. Chen kettős szitája, Goldbach sejtése és az ikerprím probléma // Acta Arithmetica. - 2004. - T. 114 , sz. 3 . – S. 215–273 . - doi : 10.4064/aa114-3-2 . - arXiv : 0705.1652 .
V. I. Zenkin. Prímszámok eloszlása. Elemi módszerek. Kalinyingrád, 2008.

Linkek

Weisstein, Eric W. Brun állandója (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Weisstein, Eric W. Brun tétele (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyen .
Brun állandója (angolul) a PlanetMath weboldalán .
Sebah, Pascal és Xavier Gourdon, Bevezetés az ikerprímekbe és Brun állandó számításába , 2002. Modern részletes vizsgálat.
Wolf cikke a Brun típusú összegekről