Brouwer fixpont tétel

A Brouwer-féle fixpont-tétel egy fontos fixpont -tétel, amely véges dimenziós terekben történő folyamatos leképezésekre alkalmazható , és néhány általánosabb tétel alapja.

Történelem

A tétel felfedezésének elsőbbsége Piers Georgievich Bolé : 1904-es munkájában [1] megfogalmazta és bebizonyította a fixpont tétellel egyenértékű tételt, és leírta ennek a tételnek a differenciálegyenletek elméletére való alkalmazását [2]. . Ennek eredménye azonban nem látszott. 1909-ben Brouwer újra felfedezte ezt a tételt az esetre . $n=3$

Megfogalmazás

A tétel általában a következő formában fogalmazódik meg: Egy véges -dimenziós euklideszi térben minden folytonos zárt golyó önmagába való leképezésének van egy fix pontja.

Részletesebben tekintsünk egy zárt golyót n - dimenziós térben . Legyen ennek a golyónak valamilyen folyamatos leképezése önmagába (nem feltétlenül szigorúan önmagán belül, nem feltétlenül bijektív , azaz még csak nem is feltétlenül szürjektív ). Aztán van egy pont , hogy . $B^{n}\subset {\mathbb R}^{n}$ $f\kettőspont B^{n}\-B^{n}$ $x\in B^{n}$ $f(x)=x$

Bizonyítás

A gömb és a golyó homológiájának vagy homotópiás csoportjainak kiszámításából az következik, hogy a labda nem húzódik vissza a határáig.

Legyen most a labda önmagába való leképezése, amelynek nincsenek fix pontjai. Építsük meg ennek alapján a labda visszahúzódását a határáig. Minden pontnál vegyük figyelembe a és pontokon átmenő egyenest (egyedi, mivel feltételezzük, hogy nincsenek fix pontok.). Legyen ennek a vonalnak a metszéspontja a labda határával, és és között feküdjön . Könnyen belátható, hogy a térkép a labda visszahúzása a határára. Ellentmondás. $f\kettőspont B^{n}\-B^{n}$ $x$ $x$ $f(x)$ $y$ $x$ $f(x)$ $y$ $x\mapsto y$

Változatok és általánosítások

Kakutani fixpont tétel
Schauder fixpont általánosítása a -terekben lévő konvex kompakt halmazok esetére .
A Schauder–Tikhonov-tétel a Schauder -tétel általánosítása lokálisan konvex topológiai vektorterek esetére .
A Sperner-lemma a Brouwer-tétel kombinatorikus analógja.

Következmények

Jegyzetek

↑ Über die Bewegung eines mechanischen Systems in die Nähe einer Gleichgewichtslage (J. reine, angew. Math. 127 (1904), 179-276)
↑ A. D. Myshkis, I. M. Rabinovich. A fixpont tétel első bizonyítása egy golyó önmagába való folyamatos leképezésére, amelyet a lett matematikus , P.G. - Orosz Tudományos Akadémia , 1955. - T. 10 , 3. sz . - S. 188-192 . (Orosz)

Irodalom

Shashkin Yu. A. Rögzített pontok . — M .: Nauka, 1989. — 80 p. - ( Népszerű matematikai előadások ). - 92.000 példány.

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4226759-6