Borsuk-Ulam tétel

A Borsuk-Ulam-tétel az algebrai topológia klasszikus tétele , amely kimondja, hogy minden olyan folytonos függvénynek , amely egy -dimenziós gömböt egy -dimenziós euklideszi térbe képez le néhány átmérősen ellentétes pontpárra , közös értéke van. Informálisan az állítást "hőmérséklet és nyomás tételként" ismerik: a Föld felszínén bármely időpontban vannak azonos hőmérsékletű és nyomású antipodális pontok [1] ; az egydimenziós esetet általában az Egyenlítő két, egymással átlósan ellentétes , azonos hőmérsékletű pontja szemlélteti. $n$ $n$

Az állítással először Lyusternik és Shnirelman találkozott egy 1930 -as cikkben [2] [3] ; az első bizonyítékot 1933 -ban tette közzé Borsuk , aki Ulamot említette a megfogalmazás szerzőjeként.

Megfogalmazás

Egy folytonos függvényhez , ahol egy gömb a dimenziós euklideszi térben , van két egymással átlósan ellentétes pont , hogy . ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ ${\mathbb S}^{n}$ $(n+1)$ $a,-a\in \mathbb {S} ^{n}$ $f(a)=f(-a)$

Változatok és általánosítások

Egy ekvivalens állítás a közös nullatétel : minden páratlan (az átmérőjű ellentéteshez képest) folytonos függvény a -dimenziós gömbtől a -dimenziós euklideszi térig a következő pontok egyikében eltűnik: . Az ekvivalenciát a folytonos függvény páratlan függvényének bevezetésével állapítják meg . Az egydimenziós esetben a közös nullatétel közvetlenül következik a köztes érték tételből ; az általános bizonyítás a Gurevich-izomorfizmust (algebrai-topológiai változat) használja, vagy Tucker-lemmából származik ( kombinatorikus változat; a Tucker-lemmát a Borsuk-Ulam-tétel kombinatorikus analógjának tekintik). ${\displaystyle g\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $n$ $n$ $a\in \mathbb {S} ^{n}$ $g(a)=0$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $g(x)=f(x)-f(-x)$

1954-ben Abram Iljics Fet általánosította az eredményt [4] : a tétel állítása nem csak az antipódok arányára érvényes, hanem egy dimenziós gömb tetszőleges involúciójára is, azaz bármilyen involúcióra és bármilyen folytonos gömbre is. függvénynek van egy olyan pontja , hogy [5] [ 6] . $n$ ${\displaystyle ^{*}\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {S} ^{n))$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $a\in \mathbb {S} ^{n}$ $f(a)=f(a^{*})$

Jegyzetek

↑ O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, N. Yu. Netsvetaev, V. M. Kharlamov. Elemi topológia . - MCMNO, 2010. - 352 p. - ISBN 978-5-94057-587-0 . Archiválva : 2012. február 19. a Wayback Machine -nél
↑ L. A. Lyusternik, L. G. Shnirelman. Topológiai módszerek variációs problémákban // A Moszkvai Állami Egyetem Matematikai és Mechanikai Intézetének közleményei (különszám). — 1930.
↑ Jiri Matousek. A Borsuk–Ulam tétel segítségével. - Berlin: Springer Verlag, 2003. - ISBN 3-540-00362-2 . - doi : 10.1007/978-3-540-76649-0 .
↑ Kerin - Nudelman, 1983 , A. Fet szovjet matematikus a topológia finom és erős eszközeit használva megállapította, hogy a Borsuk-Ulam tétel (még a dimenziós változatában is) érvényes marad, ha a gömbön tetszőleges involúciót adunk meg . 25. $n$ $S$ $P\to P'$
↑ A. I. Fet. A Lyusternik-Shnirelman tétel általánosítása a gömbök lefedésére és néhány kapcsolódó tételre // Dokl . - 1954. - T. 95 , 6. sz . Az eredetiből archiválva : 2020. január 25.
↑ A. I. Fet. Szférák involúciós leképezései és lefedései // A funkcionális elemzés szemináriumának anyaga. - Voronyezsi Egyetem , 1955. - Szám. 1 .

Irodalom

K. Borsuk. Drei Sätze über die -dimensionale euklidische Sphäre (német) // Fund. Matek.. - 1933. - Bd. 20 . - S. 177-190 . $n$
FE Su. A Borsuk-Ulam-tétel magában foglalja a Brouwer-féle fixpont-tételt Borsuk—Ulam Implies Brouwer: A Direct Construction // Amer . Math. Havi. - 1997. - 1. évf. 104 . - P. 855-859 .
M. Crane , A. Nudelman . A Borsuk-Ulam tétel, vagy valami az időjárásról, a betanított lóról és a kétdimenziós mezőkről // Kvant . - 1983. - 8. sz . - S. 20-25 .