Banach inverz operátortétele

A Banach -féle inverz operátortétel a lineáris operátorok "Banach" elméletének három alapelvének egyike (a másik kettő a Hahn-Banach tétel és az egységes korlátosság elve ). [egy]

Megfogalmazás

Ha egy korlátos lineáris operátor leképezi a teljes Banach-teret a teljes Banach- térre egy az egyhez , akkor létezik egy lineárisan korlátos operátor , amely fordítottan áll a -ra leképező operátorral . [2] $A$ $E$ $E_1$ $A^{{-1}}$ $A$ $E_1$ $E$

Következmények

Leképezési tétel megnyitása

Meg van nyitva egy Banach tér lineáris folyamatos leképezése a teljes Banach térre . [3] $A$ $E$ $E_1$

A hármas lemma

Legyenek Banach-terek és , legyenek lineáris folytonos operátorok , és leképezzünk mindent (azaz ). Ha ugyanakkor $E, E_1, E_2$ $A \kettőspont E \ - E_1$ $B\kettőspont E\-E_2$ $B$ $E$ $E_2$ $\mbox{Im}\, B = E_2$

\mbox{Ker} \, A \supset \mbox{Ker}\, B,

akkor létezik olyan folytonos lineáris operátor , hogy . $C \kettőspont E_2 \–E_1$ $A=CB$

Itt van a kernel és az operátor képe . Szimbolikusan a hármas lemma állítása kényelmesen a következő sémával ábrázolható: [4] $\mbox{Ker}\, A$ $\mbox{Im}\,A$ $A$

{\begin{array}{ccccc}{\mbox{Ker}}\,B&\to &E&{\xrightarrow {B}}&E_{2}\\\bigcap &&||&&\downarrow C\\{ \mbox{Ker}}\,A&\–&E&{\xjobbra {A}}&E_{1}\end{array}}

Jegyzetek

↑ Helemsky A. Ya. Lineáris operátor // Mathematical Encyclopedia : [5 kötetben] / Ch. szerk. I. M. Vinogradov . - M . : Szovjet Enciklopédia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 stb. : ill. — 150.000 példány.
↑ Lyusternik L. A., Sobolev V. I. A funkcionális elemzés elemei, 1965 , p. 159.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei, 1976 , p. 227.
↑ Kolmogorov A. N., Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei, 1976 , p. 228.

Irodalom

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. — Tudomány, Ch. szerk. Fiz.-Matek. lit.. - M. , 1976.
Lyusternik L. A. , Sobolev V. I. A funkcionális elemzés elemei. - Szerk. 2., átdolgozott .. - M . : Nauka, 1965. - 520 p.
Weinberg M. M. Funkcionális elemzés. - M .: Nevelés, 1979. - 128 p.