Hadamard-Cartan tétel

A Hadamard-Cartan-tétel  azt állítja, hogy egy nem pozitív görbületű Riemann-sokaság univerzális borítása diffeomorf az euklideszi térrel .

Történelem

Az euklideszi térben lévő felületekre a tételt von Mangoldt 1881-ben [1] , és ettől függetlenül Hadamard 1898-ban [2] igazolta . Az általános esetet Cartan bizonyította 1928-ban [3] .

A metrikus terekre vonatkozó általánosításokat különféle általánosságokban Busemann [4] [5] és Rinov [6] , Gromov [7] , valamint Alexander és Bishop [8] szerezte .

Megfogalmazás

A Cartan-Hadamard tétel kimondja, hogy egy nem pozitív metszeti görbületű, összefüggő teljes Riemann-sokaság univerzális fedőtere diffeomorf az euklideszi térrel. Ráadásul az exponenciális térkép bármely ponton diffeomorfizmus.

Változatok és általánosítások

• A tétel Hilbert-sokaságra általánosít abban az értelemben, hogy az exponenciális leképezés univerzális lefedés. Ebben az esetben a teljességet abban az értelemben értjük, hogy az exponenciális leképezés a pont teljes érintőterén van definiálva .

• A Cartan-Hadamard tétel metrikus terekre: egy X metrikus tér , amelynek Aleksandrov értelmében nem pozitív görbülete van, CAT(0) -tér.
  • Konkrétan, ha X egyszerűen össze van kötve , akkor bármely két pontot egyetlen geodetikus köt össze, ami azt jelenti, hogy X összehúzható .

A nem pozitív görbület feltételezése lazítható [8] . Egy X metrikus teret konvexnek nevezünk, ha bármely két geodetikus a ( t ) és b ( t ) esetén a függvény

t konvex függvénye . _ A metrikus teret lokálisan konvexnek nevezzük, ha minden pontjának van egy olyan környéke, amely ebben az értelemben konvex. A lokálisan konvex terekre vonatkozó Cartan-Hadamard tétel a következőképpen fogalmazódik meg:

• Ha X egy lokálisan konvex teljes összefüggő metrikus tér, akkor X univerzális lefedése egy konvex geodéziai tér az indukált belső metrikához képest .
  • Különösen egy ilyen tér univerzális burkolata összehúzható.

Jegyzetek

1. ↑ Hans von Mangoldt. Ueber diejenigen Punkte auf positiv gekrümmten Flächen, welche die Eigenschaft haben, dass die von ihnen ausgehenden geodätischen Linien nie aufhören, kürzeste Linien zu sein. (német)  // J. Reine Angew. Math.. - 1881. - Bd. 91 . – S. 23–53 .
2. ↑ Hadamard, J. Sur la forme des lignes géodésiques à l'infini et sur les géodésiques des surfaces réglées du second ordre  (francia)  // Bulletin de la Société Mathématique de France. - 1898. - 1. évf. 26 . - P. 195-216 . Archiválva az eredetiből 2018. június 3-án.
3. ↑ Cartan, Elie. Lecons sur la geometrie des espaces de Riemann  (francia) . - Párizs: Gauthier-Villars, 1928. - vi + 273 p.
4. ↑ Busemann, H. Nem pozitív görbületű terek. Acta Mathematica 80 (1948), 259-310.
5. ↑ Buseman G. A geodézia geometriája. – 1962.
6. ↑ Rinow, W. Die innere Geometrie der metrischen Raume. Springer, Berlin, Geidelberg, New York, 1961.
7. ↑ Gromov, M. Hiperbolikus csoportok. Csoportelméleti esszék. (angol)  // Math. sci. Res. Inst. Publ.. - New York: Springer, 1987. - Vol. 8 . — P. 75–263 .
8. ↑ 1 2 S. B. Sándor, R. L. püspök. A Hadamard–Cartan-tétel lokálisan konvex metrikus terekben // Enseign. Math. (2). - 1990. - T. 36 , sz. 3-4 . - S. 309-320 .