Hadamard hatványsor tétel

A Hadamard hatványsor -tétel ( a Cauchy-Hadamard-tétel is) egy olyan állítás, amely bizonyos esetekben becslést ad a hatványsorok konvergencia sugarára . Nevét Cauchy és Hadamard francia matematikusokról kapta . A tételt Cauchy publikálta 1821-ben [1] , de észrevétlen maradt, amíg Hadamard újra fel nem fedezte [2] . Hadamard 1888-ban publikálta az eredményt [3] . 1892-ben doktori disszertációjába is bevette [4] .

Megfogalmazás

Legyen egy hatványsor konvergenciasugárral . Akkor: ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu ))$ $R$

$(\alpha)$ ha a felső határ létezik és pozitív, akkor ; $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ $R={\frac {1}{\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|))))$

$(\béta )$ ha , akkor ; $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=0$ $R=+\infty$

$(\gamma )$ ha nincs felső határ , akkor . $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ $R=0$

Bizonyítás

$(\alpha)$ Hadd . $\lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}\in (0;+\infty )$

Ha a pont olyan, hogy , akkor lehet találni olyan számot , amely szinte mindenre érvényes . Ebből az egyenlőtlenségből következik, hogy a geometriai progresszió a sorozat konvergens majoránsa , azaz . $z \in \mathbb C$ $|z-z_{0}|<{\frac {1}{\lambda ))$ $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|} <1$ $q<1$ $\nu$ ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}<q\,$ ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }q^{\nu ))$ $\sum _{\nu =0}^{+\infty }|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|$ $R={\frac {1}{\lambda ))$

Ha éppen ellenkezőleg, a pont teljesíti a feltételt , akkor egy végtelen számhalmaz esetén . Ezért a sorozat egy ponton eltér, mert a feltételei nem nullázódnak. $z \in \mathbb C$ $|z-z_{0}|>{\frac {1}{\lambda ))$ $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }({\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}\cdot |z-z_{0}|)>1$ $\nu$ $|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|\geqslant 1$ $\sum _{\nu =0}^{+\infty }|a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu }|$ $z$

$(\béta )$ Hadd . Ezután mindegyiknél a sorozat nullához konvergál. Ezért ha egy számot választunk , akkor az egyenlőtlenség szinte minden számra érvényes lesz , amiből, mint a -ban , az következik, hogy a sorozat a pontban konvergál . Formálisan . $\lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=0$ $z \in \mathbb C$ ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}$ $q=q(z)\in (0;1)$ $\nu$ $|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|<q^{\nu }$ $(\alpha)$ $z$ $R={\frac {1}{+0}}=+\infty$

$(\gamma )$ Akkor és csak akkor nincs felső határ a (azaz formálisan ) -ban, ha a sorozat felülről korlátlan. Ha , akkor a sorozat is korlátlan . Ezért a sorozat a ponton eltér . Megjegyzendő, hogy a sorozat a -hoz konvergál . Végül (azaz formálisan , valójában ). $\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}$ $\mathbb {R}$ $\lambda =\varlimsup \limits _{\nu \to +\infty }{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}=+\infty \in {\overline {\ mathbb {R} }}$ ${\sqrt[ {\nu }]{|a_{{\nu }}|}}$ ${\displaystyle z\neq z_{0))$ ${\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }{(z-z_{0})}^{\nu }|}}$ ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu ))$ ${\displaystyle z\neq z_{0))$ ${\displaystyle z=z_{0))$ ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{+\infty }a_{\nu }(z-z_{0})^{\nu ))$ $a_{0}$ $R=0$ $R={\frac {1}{+\infty }}=+0$ $R=\varliminf \limits _{\nu \to +\infty }{\frac {1}{\sqrt[{\nu }]{|a_{\nu }|}}}=0$

Jegyzetek

↑ Cauchy, A. L. (1821), Analyze algébrique .
↑ Bottazzini, Umberto (1986), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass , Springer-Verlag, p. 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0 . Olaszból angolra fordította Warren Van Egmond.
↑ Hadamard, J. , Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable, CR Acad. sci. Paris T. 106: 259–262 .
↑ Hadamard, J. (1892), Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 4 e Série T. VIII , < https://archive.org/details/essaisurltuded0>0haisurltuded0 . Szintén a Thèses présentées à la faculté des sciences de Parisban pour obtenir le grade de docteur ès sciences mathématiques , Párizs: Gauthier-Villars et fils, 1892.

Irodalom

Grauert G., Lieb I., Fisher W. Differenciál- és integrálszámítás, M., Mir, 1971