Távíró egyenletek

Távíró egyenletek - lineáris differenciálegyenletpár , amely leírja a feszültség és az áram időbeli és távolságbeli eloszlását az elektromos kommunikációs vonalakban. Az egyenleteket Oliver Heaviside állította össze , aki az 1880-as években kidolgozta az elektromos kommunikációs vonal modelljét .

Heaviside elmélete minden frekvenciájú elektromos áram átviteli vonalára alkalmazható, beleértve a távíró-, telefon- és magasabb frekvenciájú vezetékeket, valamint az erősáramú és egyenáramú távvezetékeket is .

Elosztott paraméterek

A távíró-egyenletek, mint minden más elektromos jelenségeket leíró egyenlet, a Maxwell-egyenletek egy speciális esetére redukálhatók . Gyakorlati szempontból feltételezzük, hogy a vezetők egy végtelen négypólusú láncból állnak, amelyek mindegyike a vonal végtelenül rövid szakasza a következő paraméterekkel:

A vezető ellenállása soros ellenállásként van ábrázolva ( ohm per egységnyi hosszban kifejezve). $R$
Az induktivitás , amely figyelembe veszi az önindukció és a kölcsönös indukció hatásait az áramvezető vezetékek körüli mágneses tér jelenlétéből, hosszirányú induktorként ( henry egységnyi hosszonként) van ábrázolva. $L$
A két vezető közötti kapacitás keresztirányú kondenzátorként ( farad egységnyi hosszonként) van ábrázolva. $C$
A két vezetőt elválasztó dielektromos anyag (szigetelés) vezetőképességét keresztirányú ellenállásként ( Siemens per egységnyi hossz) ábrázoljuk. A modellben ez az ellenállás ohmos ellenállással rendelkezik. $G$ $1/G$

Az ábrán látható és paraméterek egy vezetőre vonatkoznak, de valójában mindkét vezetőre vonatkozó összértéket jelentik. A végtelen kvadripólusláncon elosztott , , paramétereket az egyenes elsődleges paramétereinek nevezzük . Használhatja a , , , jelölést is annak hangsúlyozására, hogy az értékek a koordinátához képest származtatottak. $R$ $L$ $R$ $L$ $C$ $G$ $R'$ $L'$ $C'$ $G'$

Egyenletek

Veszteségmentes vonal

Ha az és elemek kicsik, értékük elhanyagolható, míg az elektromos kommunikációs vonal ideálisnak tekinthető. Ebben az esetben a modell csak a és elemektől függ , egy elsőrendű parciális differenciálegyenletpárt kapunk, az egyik függvény a vonal menti feszültségeloszlást írja le, a másik pedig az árameloszlást írja le , mindkét függvény függ a koordinátától , ill . idő [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] : $R$ $G$ $L$ $C$ $U$ $én$ $x$ $t$

{\frac {\partial }{\partial x}}U(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t),

{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}U(x,t).

Ezeket az egyenleteket kombinálva két különálló hullámegyenletet kaphatunk:

{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}U={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{ {\partial x}^{2))}U,

{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2}}}I={\frac {1}{LC}}{\frac {\partial ^{2}}{ {\részleges x}^{2))}I.

Harmonikus esetben (feltéve, hogy a hullám szinuszos) az egyenleteket leegyszerűsítjük ${\displaystyle E=E_{0}\cdot e^{-j\omega ({\frac {x}{c}}-t)))$

{\frac {\partial ^{2}U(x)}{\partial x^{2))}+\omega ^{2}LC\cdot U(x)=0,

{\frac {\partial ^{2}I(x)}{\partial x^{2))}+\omega ^{2}LC\cdot I(x)=0,

hol van az állóhullám frekvenciája. $\omega$

Ha a vonal végtelenül hosszú, vagy jellegzetes komplex impedanciában végződik, az egyenletek egy sebességgel terjedő hullám jelenlétét mutatják . $v=1/{\sqrt {LC}}$

Ez a terjedési sebesség hullámjelenségekre alkalmazható, és nem veszi figyelembe az elektronsodródási sebességet . Más szóval, az elektromos impulzus a fénysebességhez nagyon közeli sebességgel terjed, annak ellenére, hogy maguk az elektronok csak néhány centimétert haladnak másodpercenként. Kimutatható, hogy ez a sebesség egy ideális vezetőkből álló, vákuummal elválasztott koaxiális vonalban egyenlő a fénysebességgel [8] [9] .

Veszteségek sora

Amikor az elemeket és nem lehet figyelmen kívül hagyni, az elemi szakaszt leíró eredeti differenciálegyenletek a következő alakot öltik: $R$ $G$

{\frac {\partial }{\partial x}}U(x,t)=-L{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-RI(x,t ),

{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)=-C{\frac {\partial }{\partial t}}U(x,t)-GU(x,t ).

Differenciálva az első egyenletet a és a második egyenlet alapján , néhány algebrai transzformáció végrehajtása után egy pár hiperbolikus parciális differenciálegyenletet kapunk, amelyek mindegyike egy ismeretlent tartalmaz: $x$ $t$

{\frac {\partial ^{2}}({\partial x}^{2}}}U=LC{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2} }}U+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}U+GRU,

{\frac {\partial ^{2}}({\partial x}^{2}}}I=LC{\frac {\partial ^{2}}{{\partial t}^{2} }}I+(RC+GL){\frac {\partial }{\partial t}}I+GRI.

Ha a vonalvesztés kicsi (kicsi és ), a jel a távolság növekedésével csökken , ahol . $R$ $G=0$ ${\displaystyle e^{-\alpha x))$ $\alpha =R/(2Z_{0})$

Ezek az egyenletek hasonlóak a homogén hullámegyenlethez, további feltételekkel és azok első deriváltjaival. További körülmények a jel lelassulását és szétszóródását okozzák az idő és a távolság függvényében. $U$ $én$

A jel terjedésének iránya

A fent leírt hullámegyenletek figyelembe veszik, hogy a hullám terjedése lehet előre és hátra. Tekintettel a veszteségmentes sor egyszerűsítésére ( és feltételezve ), a megoldás a következőképpen ábrázolható $R=0$ $G=0$

U(x,t)=f_{1}(\omega t-kx)+f_{2}(\omega t+kx),

ahol:

k=\omega {\sqrt {LC}}=\omega /v,

k

hullámszámnak nevezik , és radián per méterben mérik ,

\omega

a szögfrekvencia (radián per másodpercben),

f_1

és bármilyen függvény lehet , és

f_{2}

v=1/{\sqrt {LC}}

a hullámterjedési sebesség (vagy fázissebesség ).

$f_1$ pozitív tengelyirányban (balról jobbra) haladó hullámot ábrázol, jobbról balra haladó hullámot jelöl. Látható, hogy a feszültség pillanatnyi értéke a vonal bármely pontjában a két hullám által okozott feszültségek összege . $x$ $f_{2}$ $x$

Mivel az áram és a feszültség kapcsolatát távíróegyenletek írják le, felírhatjuk: $én$ $U$

I(x,t)={\frac {f_{1}(\omega t-kx)}{Z_{0))}-{\frac {f_{2}(\omega t+kx)} {Z_{0}}},

hol van az átviteli vezeték hullámimpedanciája , amely veszteségmentes vezeték esetén a következőképpen található meg $Z_0$

Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C))}.

Távíróegyenletek megoldása

A távíróegyenletek megoldása például a p. 348 a 80. példában (plusz a 79. példa megoldása a 347-348. oldalon) a [10] könyvben .

Lásd még

Jegyzetek

↑ John D. Kraus. Elektromágnesesség _ _ — Harmadik. - New York, NY: McGraw-Hill Education , 1984. - P. 380-419. — ISBN 0070354235 .
↑ William H. Hayt. Mérnöki elektromágnesesség . — Ötödik. - New York, NY: McGraw-Hill Education , 1989. - P. 382-392. — ISBN 0070274061 .
↑ Stanley V. Marshall. Elektromágneses fogalmak és alkalmazások . — Másodszor. - New York, NY: Prentice-Hall , 1987. - P. 359-378. — ISBN 0132490048 .
↑ Matthew NO Sadiku. Az elektromágnesesség elemei . - Első. – Orlando, Florida: Saunders College Publishing, 1989. - P. 497-505. — ISBN 993013846. Archiválva : 2016. március 6. a Wayback Machine -nál
↑ Rodger F. Harrington. Időharmonikus elektromágneses mezők . - Első. - New York, NY: McGraw-Hill Education , 1961. - P. 61-65. — ISBN 0070267456 .
↑ John J. Karakash. Átviteli vonalak és szűrőhálózatok . - Első. - New York, NY: Macmillan, 1950. - P. 5-14.
↑ Georges Metzger. Átviteli vezetékek impulzusgerjesztéssel . - Első. - New York, NY: Academic Press , 1969. - P. 1-10.
↑ Matthew NO Sadiku. Az elektromágnesesség elemei . - Első. – Orlando, Florida: Saunders College Publishing, 1989. - P. 501-503. — ISBN 993013846. Archiválva : 2016. március 6. a Wayback Machine -nál
↑ Stanley V. Marshall. Elektromágneses fogalmak és alkalmazások . — Másodszor. - New York, NY: Prentice-Hall , 1987. - P. 369-372. — ISBN 0132490048 .
↑ Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Matematika kézikönyve mérnököknek és műszaki egyetemek hallgatóinak A 2017. március 23-i archivált példány a Wayback Machine -nél , 13. kiadás. M .: Nauka, 1986.