Osztófüggvény hozzáadása

Az összegző osztófüggvény a számelméletben olyan függvény, amely az osztófüggvény összege . A függvényt gyakran használják a Riemann zéta függvény aszimptotikus viselkedésének vizsgálatára . Az osztófüggvény aszimptotikus viselkedésével foglalkozó különféle tanulmányokat néha osztóproblémának nevezik .

Definíció

Az összegző osztó függvény a következőképpen definiálható:

D(x)=\sum _{n\leq x}d(n)=\sum _{j,k \atop jk\leq x}1

ahol

d(n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{j,k \atop jk=n}1

az osztófüggvény . Az osztófüggvény megszámolja, hogy az n egész szám két egész szám szorzataként írható fel.

Általánosabban úgy definiálható

D_{k}(x)=\sum _{n\leq x}d_{k}(n)=\sum _{mn\leq x}d_{k-1}(n)

ahol d k ( n ) az n szám k szám szorzatakénti ábrázolásának a számát határozza meg . Ez a szám vizuálisan ábrázolható a hiperbolikus felület által határolt rácspontok számaként k dimenzióban. Ekkor k =2 esetén D ( x )= D 2 ( x ) a koordinátatengelyek és a jk = x hiperbola által határolt négyzetrács pontjainak számát jelenti . Ez az ábra durván ábrázolható hiperbolikus szimplexként , amely lehetővé teszi, hogy egy alternatív módot kapjunk D ( x ) kifejezésére, és egy egyszerűbb időszámítási módot : $O({\sqrt {x)))$

D(x)=\sum _{k=1}^{x}\lfloor {\frac {x}{k))\rfloor =2\sum _{k=1}^{u}\lfloor {\frac {x}{k}}\rfloor -u^{2}

, ahol

u=\lfloor {\sqrt {x}}\rfloor

Ha ebben az összefüggésben a hiperbolát körrel helyettesítjük, akkor egy hasonló függvény kiszámításának problémáját kapjuk, amelyet Gauss-kör-problémaként ismerünk .

A Dirichlet osztó probléma

Ennek az összegnek a teljes kifejezésének megtalálása lehetetlennek tűnik, de megadható egy könnyen megtalálható közelítés. Dirichlet megmutatta

D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)\

ahol az Euler-Mascheroni konstans , és a nem aszimptotikus komponens egyenlő $\gamma$

\Delta (x)={\mathcal {O}}\left({\sqrt {x}}\right).

A Dirichlet-osztó probléma pontos megfogalmazása az , hogy megtaláljuk az összes érték infimumát, amelyre $\theta$

\Delta (x)={\mathcal {O}}\left(x^{\theta +\epsilon }\right)

bármely . 2006-ra a probléma megoldatlan maradt. $\epsilon >0$

A számelméleti megoldatlan problémák F1 szakasza [1] áttekintést ad arról, hogy mi ismert és mi marad ismeretlen a Dirichlet-osztó-probléma és a Gauss-kör probléma kapcsán.

1904-ben Voronoi bebizonyította, hogy az eltérés becslése [2] -ra javítható . ${\mathcal {O}}(x^{1/3}\log x)$
1916-ban Hardy megmutatta, hogy . Konkrétan azt mutatta be, hogy bizonyos állandókra van x olyan, hogy és olyan x , hogy [3] . $\inf \theta \geq 1/4$ $K$ ${\displaystyle \Delta (x)>Kx^{1/4))$ ${\displaystyle \Delta (x)<-Kx^{1/4))$
1922-ben Johannes van der Corput javította Dirichlet becslését $\inf \theta \leq 33/100.$
1928-ban Johannes van der Corput bebizonyította $\inf \theta \leq 27/82.$
1950-ben Chih Tsung-tao és egymástól függetlenül 1953-ban HE Richert bebizonyította, hogy $\inf \theta \leq 15/46.$
1969-ben Grigorij Kolesnik megmutatta $\inf \theta \leq 12/37$
1973-ban Grigory Kolesnik megmutatta, hogy . $\inf \theta \leq 346/1067$
1982-ben Grigory Kolesnik megmutatta, hogy . $\inf \theta \leq 35/108$
1988-ban G. Ivanets és CJ Mozzochi bebizonyította, hogy [4] . $\inf \theta \leq 7/22$
2003-ban Martin Huxley javította a becslést azzal, hogy megmutatta, hogy [5] . $\inf \theta \leq 131/416$

Így a valódi érték valahol 1/4 és 131/416 (körülbelül 0,3149) között van. A széles körben elfogadott hipotézis szerint az érték pontosan 1/4. Közvetlen számítások vezetnek ehhez a sejtéshez, mivel ez egy majdnem normális eloszlás 1-es variancia mellett x-re 10 16 -ig . $\inf \theta$ $\Delta (x)$ ${\displaystyle \Delta (x)/x^{1/4))$

Általánosított osztó probléma

Általánosított esetben

D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)

ahol egy fokú polinom . $P_{k}$ $k-1$

Egyszerű becslésekkel ezt meg lehet mutatni

\Delta _{k}(x)={\mathcal {O}}\left(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\right)

egész számokhoz . Ahogy az esetében , az alsó korlát ismeretlen. Ha a minimális értékkel jelöljük, amelyre $k\geq 2$ $k=2$ $\theta_k$

\Delta _{k}(x)={\mathcal {O}}\left(x^{\theta _{k}+\varepsilon }\right)

bármelyik esetén a következő eredmények ismertek: $\varepsilon >0$

Voronoi és Landau: azért $\theta _{k}\leq {\frac {k-1}{k+1))$ $k=2,3,\ldots$
Hardy és Littlewood: azért $\theta _{k}\leq {\frac {k-1}{k+2))$ $k=4,5,\ldots$
Hardy megmutatta $\theta _{k}\geq {\frac {k-1}{2k))$ $k=2,3,\ldots$
Titchmarsh ezt javasolta . $\theta _{k}={\frac {k-1}{2k))$

Mellin transzformáció

Mindkét kifejezés a Mellin-transzformációval fejezhető ki :

D(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac { x^{w}}{w}}\,dw

számára . Itt vannak a Riemann zéta függvények . $c>1$ $\zeta (s)$

Ugyanúgy

\Delta (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c^{\prime }-i\infty }^{c^{\prime }+i\infty } \zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw

-val . Az aszimptotikus tagot úgy kapjuk meg, hogy a kontúrt a kettős szinguláris ponton túlra toljuk : az aszimptotikus tag egyszerűen egy maradék ( a Cauchy-féle integrál formula szerint ). $0<c^{\prime }<1$ $D(x)$ $w=1$

Általában

D_{k}(x)={\frac {1}{2\pi i))\int _{ci\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{k}(w){ \frac {x^{w}}{w}}\,dw

és ugyanez a , számára . $\Delta _{k}(x)$ $k\geq 2$

Jegyzetek

↑ Richard K. Guy. Megoldatlan problémák a számelméletben. — 3. - Berlin: Springer, 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
↑ Ivic Aleksandar. A Riemann Zeta-Funkció. - New York: Dover Publications, 2003. - ISBN 0-486-42813-3 .
↑ Montgomery Hugh, R. C. Vaughan . Multiplikatív számelmélet I: Klasszikus elmélet. - Cambridge: Cambridge University Press, 2007. - ISBN 978-0-521-84903-6 .
↑ Henryk Iwaniec, CJ Mozzochi . Az osztó- és körproblémákról // Journal of Number Theory. - 1988. - Kiadás. 29 . - S. 60-93 . - doi : 10.1016/0022-314X(88)90093-5 .
↑ Martin Huxley. Exponenciális összegek és rácspontok III // Proc. London Math. Szoc .. - 2003. - T. 87 , 3. sz . - S. 591-609 . - doi : 10.1112/S0024611503014485 .

Irodalom

Harold Edwards . Riemann Zéta-függvénye”. - Dover Publications, 1974. - ISBN 0-486-41740-9 .
EC Titchmarsh. 12. fejezet az általánosított osztóprobléma tárgyalásához // A Riemann Zeta-függvény elmélete. – Oxford: Oxford a Clarendon Pressnél, 1951.
Apostol, Tom M. Bevezetés az analitikus számelméletbe, Alapképzési szövegek matematikából. - New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. - ISBN 978-0-387-90163-3 . . Bevezetést ad Dirichlet osztóproblémájába.
Felkelt. Számelmélet tanfolyam . – Oxford, 1988.
Martin Huxley . Exponenciális összegek és rácspontok III // Proc. London Math. szoc. - 2003. - T. 87 , 3. sz . - S. 591-609 .