Három kocka összege

A három kocka összege nyitott probléma a matematikában egy egész szám három kocka egész (pozitív vagy negatív) számok összegeként való ábrázolhatóságával kapcsolatban .

A megfelelő diofantusz-egyenlet egy szám három kocka összegeként való ábrázolhatóságának szükséges feltétele : ha elosztjuk 9-cel, nem marad 4 vagy 5 maradéka . $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n.$ $n$ $n$

A feladat változataiban a számot csak nem negatív vagy racionális számok kockáinak összegével kell ábrázolni . Bármely egész szám ábrázolható racionális kockák összegeként, de nem ismert, hogy a nem negatív kockák összegei nem nulla aszimptotikus sűrűségű halmazt alkotnak-e .

Történelem

A tetszőleges egész szám három kocka összegeként való ábrázolásának kérdése körülbelül 200 éve létezik, az első ismert parametrikus megoldást racionális számokban S. Riley adta 1825-ben. Paraméteres megoldásokat egész számokban talált - 1908-ban A. S. Verebryusov [1] ( a Feodosiya férfigimnázium matematikatanára , S. I. Verebryusov fia ), 1936-ban Mahler [2] . $n=2$ $n=1$

Döntések

Egy szám három kocka összegeként való ábrázolásának szükséges feltétele : 9-cel osztva nem ad 4 vagy 5 maradékot; mivel bármely egész szám kockája 9-cel osztva 0, 1 vagy 8 maradékot ad, akkor három kocka összege 9-cel osztva nem adhat 4 vagy 5 maradékot [3] . Nem ismert, hogy ez a feltétel elegendő-e. $n$ $n$

1992-ben Roger Heath-Brown azt javasolta, hogy minden , amely 9-cel osztva nem ad maradékot 4-re vagy 5-re, végtelenül sok reprezentációt tartalmaz három kocka összegeként [4] . $n$

Azt azonban nem tudni, hogy a számok három kocka összegeként való ábrázolása algoritmikusan eldönthető-e, vagyis az algoritmus képes-e egy adott számra véges idő alatt ellenőrizni a megoldás meglétét. Ha a Heath-Brown hipotézis igaz, akkor a probléma megoldható, és az algoritmus helyesen tudja megoldani a problémát. A Heath-Brown-tanulmány pontosabb sejtéseket is tartalmaz arra vonatkozóan, hogy egy algoritmusnak meddig kell elnéznie ahhoz, hogy explicit reprezentációt találjon, ahelyett, hogy csak annak meghatározására volna, hogy létezik-e [4] .

Az esetet , amelynek ábrázolása kockák összegeként sokáig nem volt ismert, Bjorn Punen bevezető példaként használja a számelméleti eldönthetetlen problémák felmérésében , amelyből Hilbert tizedik problémája a leghíresebb példa [5]. . $n=33$

Kis számok

Mert csak triviális megoldások vannak $n=0$

a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0.

A 0 nem triviális ábrázolása három kocka összegeként ellenpéldát adna Fermat utolsó , 3. fokra vonatkozó tételére [6] , amelyet Leonhard Euler bizonyított : mivel a három kocka közül az egyik ellentétes előjelű lesz a másik két számmal, ezért tagadása egyenlő e kettő összegével.

Mert és végtelen számú megoldáscsalád létezik, például (1 - Mahler, 1936, 2 - Verebryusov, 1908): $n=1$ $n=2$

(9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1,

(1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2.

Vannak más reprezentációk és más paraméterezett reprezentációs családok az 1-hez [7] . Két másik ismert ábrázolás esetében a [7] [8]

1\ 214\ 928^{3}+3\ 480\ 205^{3}+(-3\ 528\ 875)^{3}=2,

37\ 404\ 275\ 617^{3}+(-25\ 282\ 289\ 375)^{3}+(-33\ 071\ 554\ 596)^{3}=2,

373\ 783\ 0626\ 090^{3}+1\ 490\ 220\ 318\ 001^{3}+(-3\ 815\ 176\ 160\ 999)^{3}=2.

Ezekkel az egyenlőségekkel tetszőleges kockát vagy megkettőzött kockát fel lehet bontani három kocka összegére [1] [9] .

Azonban az 1 és a 2 az egyetlen olyan szám, amelynek reprezentációja negyedfokú polinomokkal paraméterezhető [10] . Louis J. Mordell még a reprezentációk esetében is ezt írta 1953-ban: "Nem tudok semmit" a kis döntéseken kívül $n=3$

4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3,

1^{3}+1^{3}+1^{3}=3,

és azt is, hogy mindhárom kockának egyenlőnek kell lennie 1 modulo 9 [11] [12] értékkel . 2019. szeptember 17-én Andrew Booker és Andrew Sutherland, akik képviseletet találtak a 33-as és 42-es nehéz esetekhez (lásd alább), újabb 3-as ábrázolást tettek közzé, amelynek megtalálása 4 millió órát vett igénybe a Charity Engine hálózatban [13] [14]. :

569\ 936\ 821\ 221\ 962\ 380\ 720^{3}+(-569\ 936\ 821\ 113\ 563\ 493\ 509)^{3}+(-472\4\ 715) 453\ 327\ 032)^{3}=3,

Egyéb számok

1955 óta, Mordellt követve, sok kutató keres megoldásokat számítógép segítségével [15] [16] [8] [17] [18] [19] [20] [2] [21] [22] .

1954-ben Miller és Woollett 69 szám reprezentációját találta meg 1-től 100-ig. 1963-ban Gardiner, Lazarus, Stein az 1-től 999-ig terjedő intervallumot vizsgálja, és számos szám reprezentációját találja, kivéve 70 számot, amelyből 8 érték 1992-ben Heath-Brown és munkatársai megoldást találtak a 39-re. 1994-ben Koyama modern számítógépekkel további 16 számra talál megoldást 100-tól 1000-ig. 1994-ben Conn és Waserstein - 84 és 960. 1995-ben Bremner - 75 és 600, Lux - 110, 435, 478. 1997-ben Koyama és társai - 5 új szám 100-tól 1000-ig. 1999-ben Elkis - 30 és további 10 új szám 1010-ről 2007-ben Beck és munkatársai – 52, 195, 588 [2] . 2016-ban Huisman - 74, 606, 830, 966 [22] .

Elsenhans és Jahnel 2009-ben [21] az Elkis-módszert [20] alkalmazta, amely rácsbázis- redukciót használ a Diofantusz- egyenlet összes megoldásának megtalálásához pozitív legfeljebb 1000-re és [21] -re, majd Huisman 2016-ban [22] kiterjesztette a keressen ide: . $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ $n$ ${\displaystyle \max {\big (}|x|,|y|,|z|{\big )}<10^{14))$ ${\displaystyle \max {\big (}|x|,|y|,|z|{\big )}<10^{15))$

2019 tavaszán Andrew Booker (University of Bristol) egy másik keresési stratégiát dolgozott ki, a számítási idő nem a maximummal arányos, és 33-as és 795-ös reprezentációt talált [23] [24] [25] : ${\displaystyle \min {\big (}|x|,|y|,|z|{\big )))$

33=8\ 866\ 128\ 975\ 287\ 528^{3}+(-8\ 778\ 405\ 442\ 862\ 239)^{3}+(-2\ 736\ 111\ 468\ 807\ 040)^{3},

795=(-14\ 219\ 049\ 725\ 358\ 227)^{3}+14\ 197\ 965\ 759\ 741\ 571^{3}+2\ 337\ 348\ 783\3 923^{3}.

2019 szeptemberében Booker és Andrew Sutherland 100-ra zárta az intervallumot azzal, hogy megtalálta a 42 reprezentációját, amelyhez 1,3 millió óra számítást fordítottak a Charity Engine-ben [26] :

42=(-80\ 538\ 738\ 812\ 075\ 974)^{3}+80\ 435\ 758\ 145\ 817\ 515^{3}+12\ 602\ 123\ 297\3 631^{3}.

Később, ugyanabban a hónapban megtalálták a 906-os szám bontását [27] :

906=(-74\ 924\ 259\ 395\ 610\ 397)^{3}+72\ 054\ 089\ 679\ 353\ 378^{3}+35\ 961\ 979\ 615\3 503^{3}.

És akkor 165 [28] :

165=(-385\ 495\ 523\ 231\ 271\ 884)^{3}+383\ 344\ 975\ 542\ 639\ 445^{3}+98\ 422\ 560\6 46 814^{3}.

2019-ben 100-ig minden olyan szám reprezentációja található, amelyek nem egyenlők 4-gyel vagy 5-ös modulo 9-el. A 7 szám 100 és 1000 közötti reprezentációi ismeretlenek maradnak: 114, 390, 627, 633, 732, 921, 975 [26] .

A legkisebb megoldatlan eset a [26] . $n=114$

Opciók

A feladatnak van egy olyan változata, amelyben a számot három kocka nemnegatív egész szám összegeként kell ábrázolni, ez a probléma a Waring-problémához kapcsolódik . A 19. században Carl Gustav Jacob Jacobi és munkatársai táblázatokat állítottak össze a probléma megoldásairól [29] . Feltételezzük, de nem bizonyítottuk, hogy a reprezentálható számok pozitív aszimptotikus sűrűségűek [30] [31] , bár Trevor Wooley kimutatta, hogy lehetséges számok ábrázolása a [32] és [33] [34] közötti tartományban. errefelé . Sűrűség legfeljebb [3] . $\Omega (n^{0{,}917})$ $egy$ $n$ $\Gamma (4/3)^{3}/6\kb 0{,}119$

Egy másik lehetőség a racionális számok használata. Ismeretes, hogy bármely egész szám ábrázolható három racionális szám kocka összegeként [35] [36] .

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 A. S. Verebryusov (1908), Az x 3 + y 3 + z 3 = 2 u 3 egyenletről , Matematikai gyűjtemény T. 26 (4): 622–624 , < http://mi.mathnet.ru /msb6615 >
↑ 1 2 3 Beck, Michael; Fenyő, Eric; Tarrant, Wayne és Yarbrough Jensen, Kim (2007), Új egész számok ábrázolása három kocka összegeként , Mathematics of Computation 76. kötet (259): 1683–1690 , DOI 10.1090/S0025-5718-07-31.
↑ 12 _ _ _ _ _ _ _ _
↑ 1 2 Heath-Brown, DR (1992), Azon alakok nullák sűrűsége, amelyeknél a gyenge közelítés sikertelen , Mathematics of Computation 59. kötet (200): 613–623 , DOI 10.2307/2153078
↑ Poonen, Bjorn (2008), Undecidability in number theory , Notices of the American Mathematical Society vol. 55 (3): 344–350 , < https://www.ams.org/notices/200803/tx080300344p.pdf >
↑ Machis, Yu. Yu. (2007), Euler hipotetikus bizonyítása , Mathematical Notes 82. kötet (3): 352–356 , DOI 10.1134/S0001434607090088
↑ 1 2 Avagyan, Armen & Dallakyan, Gurgen (2018), Egy új módszer a három kocka problémájában , DOI 10.13189/ujcmj.2017.050301
↑ 1 2 Heath-Brown, D. R. ; Lioen, WM & te Riele, HJJ (1993), A Diophantine egyenlet megoldásáról vektoros számítógépen $x^{3}+y^{3}+z^{3}=k$ , Mathematics of Computation 61. kötet (203): 235–244, doi : 10.2307/2152950 , < https://ir.cwi .nl/pub/5502 >
↑ Mahler, Kurt (1936), Megjegyzés a Hardy és Littlewood K hipotéziséhez , Journal of the London Mathematical Society , 11(2): 136–138 , DOI 10.1112/jlms/s1-11.2.136
↑ Mordell, LJ (1942), Három kocka összegéről , Journal of the London Mathematical Society , Second Series 17 (3): 139–144 , DOI 10.1112/jlms/s1-17.3.139
↑ Mordell, LJ (1953), Az egyenlet egész számú megoldásairól $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xyz=n$ , Journal of the London Mathematical Society , Second Series 28. kötet: 500–510 , DOI 10.1112/jlms/s1-28.4.500
↑ Azon számok 9-es egyenlőségi módozatát, amelyek kockáinak összege 3 , Mordell (1953 ) JWS Casselsnek írta jóvá , de ennek bizonyítását csak Cassels, JWS (1985), A Note on the Diophantine equation , Mathematics of Computation 44. kötet tette közzé. (169): 265–266 , DOI 10.2307/2007811 . $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3$
↑ Lu, Donna A matematikusok teljesen új módszert találtak a 3-as szám írására . New Scientist (2019. szeptember 18.). Letöltve: 2019. október 11. (határozatlan)
↑ markmcan. Őrülten hatalmas összeg három kocka 3-ért – 66 év keresés után . [tweet] . Twitter (2019. szeptember 17. ) (határozatlan)
↑ Miller, JCP & Woollett, MFC (1955), Solutions of the Diophantine equation $x^{3}+y^{3}+z^{3}=k$ , Journal of the London Mathematical Society , Second Series 30. kötet: 101–110 , DOI 10.1112/jlms/s1-30.1.101
↑ Gardiner, VL; Lazarus, R. B. & Stein, P. R. (1964), Solutions of the diophantine equation $x^{3}+y^{3}=z^{3}-d$ , Mathematics of Computation 18 (87): 408–413 , DOI 10.2307/2003763
↑ Conn, W. & Vaserstein, LN (1994), Három integrálkocka összegéről , The Rademacher-hagyaték a matematikára (University Park, PA, 1992) , 1. kötet. 166, Contemporary Mathematics, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, p. 285–294 , DOI 10.1090/conm/166/01628
↑ Bremner, Andrew (1995), Három kocka összegéről, Számelmélet (Halifax, NS, 1994) , vol. 15, CMS Conference Proceedings, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, p. 87–91
↑ Koyama, Kenji; Tsuruoka, Yukio és Sekigawa, Hiroshi (1997), A diofantini egyenlet megoldásainak kereséséről $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ , Mathematics of Computation 66. kötet (218): 841–851 , DOI 10.1090/S0025-5718-97-208300
↑ 1 2 Elkies, Noam D. (2000), Görbékhez közeli racionális pontok és kicsi, nem nulla pontok rácsredukción keresztül $|x^{3}-y^{2}|$ , Algoritmikus számelmélet (Leiden, 2000) , vol. 1838, Lecture Notes in Computer Science, Springer, Berlin, p. 33–63 , DOI 10.1007/10722028_2
↑ 1 2 3 Elsenhans, Andreas-Stephan & Jahnel, Jörg (2009), Három kocka új összegei , Mathematics of Computation vol .
↑ 1 2 3 Huisman, Sander G. (2016), Három kocka újabb összegei
↑ Kalai, Gil (2019. március 9.), Kombinatorika és egyebek , >
↑ Booker, Andrew R. (2019), Cracking the problem with 33 , University of Bristol , < https://people.maths.bris.ac.uk/~maarb/papers/cubesv1.pdf >
↑ Booker, Andrew R. (2019), Cracking the problem with 33 , Research in Number Theory , vol. 5:26, Springer , DOI 10.1007/s40993-019-0162-1
↑ 1 2 3 Houston, Robin 42 a válasz arra a kérdésre, hogy mi az (-80538738812075974) 3 + 80435758145817515 3 + 12602123297335631 3 ? . Az időszaki kiadvány (2019. szeptember 6.). Hozzáférés időpontja: 2021. január 4. (határozatlan)
↑ Andrew V. Sutherland személyes weboldala . Letöltve: 2019. szeptember 20. (határozatlan)
↑ Andrew V. Sutherland személyes weboldala . Letöltve: 2019. szeptember 30. (határozatlan)
↑ Dickson, Leonard Eugene (1920), A számelmélet története, 1. évf. II: Diophantine Analysis , Carnegie Institution of Washington, p. 717 , < https://archive.org/details/historyoftheoryo02dickuoft/page/716 >
↑ Balog, Antal & Brüdern, Jörg (1995), Három kocka összegei három összekapcsolt három-progresszióban , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik T. 1995 (466): 45–85, DOI 10.1515/crll.66945.46945.
↑ Deshouillers, Jean-Marc ; Hennecart, François & Landreau, Bernard (2006), Három kocka összegeinek sűrűségéről , Hess, Florian; Pauli, Sebastian & Pohst, Michael, Algorithmic Number Theory: 7th International Symposium, ANTS-VII, Berlin, Németország, 2006. július 23-28., Proceedings , vol. 4076, Lecture Notes in Computer Science, Berlin: Springer, p. 141–155 , DOI 10.1007/11792086_11
↑ Wooley, Trevor D. (1995), Klasszikus konvexitás megtörése Waring problémájában: kockák összegei és kvázi-diagonális viselkedés , Inventiones Mathematicae T. 122 (3): 421–451 , DOI 10.1007/B45121
↑ Wooley, Trevor D. (2000), Három kocka összegei , Mathematika T. 47 (1–2): 53–61 (2002) , DOI 10.1112/S0025579300015710
↑ Wooley, Trevor D. (2015), Három kocka összegei, II , Acta Arithmetica 170. kötet (1): 73–100 , DOI 10.4064/aa170-1-6
↑ Richmond, H.W. (1923), A Waring-probléma analógjai racionális számokra , Proceedings of the London Mathematical Society , Second Series 21. kötet: 401–409 , DOI 10.1112/plms/s2-21.1.401
↑ Davenport, H. & Landau, E. (1969), A pozitív egész számok ábrázolásáról három pozitív racionális szám kocka összegeként, Számelmélet és -elemzés (Papers in Honor of Edmund Landau) , New York: Plenum, p. 49–53

Linkek

n = x 3 + y 3 + z 3 megoldásai 0 ≤ n ≤ 99 esetén , Hisanori Mishima
threecubes , Daniel J. Bernstein
Három kocka összegei, Mathpages
The Uncracked Problem with 33 , Timothy Browning a Numberphile-n
A 42 az új 33 , Andrew Booker a Numberphile-n