Előfordulási szerkezet

Az előfordulási struktúra  a matematikában hármas

ahol P  a "pontok", L  a "vonalak" halmaza, és  az előfordulási reláció . Az elemeket zászlóknak nevezzük . Ha egy , azt mondjuk, hogy a p pont a vonalon "fekszik" . Az L -t ábrázolhatjuk P részhalmazainak halmazaként , és az I előfordulása egy inklúzió ( ha és csak akkor ), de gondolkodhatunk elvontabban is.

A beesési struktúrák síkokat általánosítanak (mint például affin , projektív és Möbius síkok ), amint az e síkok axiomatikus definícióiból is látható. Az előfordulási struktúrák a magasabb dimenziós geometriai struktúrákat is általánosítják; a véges szerkezeteket néha véges geometriáknak nevezik .

Összehasonlítás más szerkezetekkel

Egy beesési struktúra ábrázolása gráfnak tűnhet , de a gráfokban egy élnek csak két végpontja van, míg egy beesési struktúra egy vonala kettőnél több pontra is beeshet. Így az előfordulási struktúrák hipergráfok .

Az előfordulási struktúrában nincs fogalma arról, hogy egy pont két másik pont között helyezkedik el. A pontok sorrendje a vonalon nincs meghatározva. Hasonlítsa össze a rendezett geometriával , amelynek hazugság-kapcsolata van.

Kettős szerkezet

Ha felcseréljük a "pontok" és a "vonalak" szerepét az előfordulási struktúrában

C = ( P , L , I )

kettős szerkezetet kap

C * = ( L , P , I *),

ahol I * bináris reláció, inverz I -hez . Ez egyértelmű

C ** = C.

Ez a művelet a projektív kettősség absztrakt változata .

Azt a C szerkezetet , amely izomorf a C * kettős szerkezetével , önduálisnak mondjuk .

Megfelelés a hipergráfoknak

Minden hipergráf vagy halmazrendszer egy előfordulási struktúraként fogható fel, amelyben az univerzális halmaz a "pontok", a megfelelő halmazrendszer a "vonalak" szerepét tölti be, az előfordulási reláció pedig a "∈" tagság . Ezzel szemben az előfordulások bármely struktúrája hipergráfnak tekinthető.

Példa: Fano sík

Konkrétan hadd

P  = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, L  = { {1,2,3}, {1,4,5}, {1,6,7}, {2,4,6}, {2,5,7}, {3,4,7} , {3,5,6} }.

A megfelelő beesési struktúrát Fano-síknak nevezzük .

A vonalak pontosan a pontok részhalmazai, amelyek három pontból állnak, amelyek címkéi nullára vannak töltve egy nim-összeggel .

Geometriai ábrázolás

A beesési struktúra pontokkal és görbékkel modellezhető az euklideszi geometriában , beesési relációként a standard geometriai zárvány mellett. Egyes beesési struktúrák ábrázolhatók pontok és vonalak segítségével, de például a Fano felületen nincs ilyen ábrázolás.

Az előfordulási struktúra Levi-gráfja

Bármely C előfordulási struktúra egy kétrészes gráfnak felel meg , amelyet Levi -gráfnak vagy szerkezeti előfordulási gráfnak neveznek. Mivel bármely kétrészes gráf két színnel színezhető, ezért a Levi gráf csúcsai fehér és fekete színekkel színezhetők, ahol a fekete csúcsok pontoknak, a fehér csúcsok pedig a C vonalaknak felelnek meg . Ennek a grafikonnak az élei megfelelnek a beesési struktúra zászlóinak (pont/vonal incidens pároknak).

Példa: Earl of Heawood

A Fano-sík Levi-gráfja a Heawood-gráf . Mivel a Heawood-gráf összefüggő és csúcstranzitív , van egy automorfizmus (például a jobb oldali ábrán a függőleges tengely körüli tükrözés), amely fehér és fekete csúcsokat cserél. Ez azt jelenti, hogy a Fano repülőgép önkettős.

Lásd még

Linkek