Spektrális sorozat

A homológ algebrában és az algebrai topológiában a spektrális sorozat a homológiacsoportok egymást követő közelítésekkel történő kiszámításának eszköze. Jean Leray bemutatása óta fontos számítási eszközzé váltak, különösen az algebrai topológiában, algebrai geometriában és homológiai algebrában.

Formális definíció

Rögzítünk egy abeli kategóriát , például a modulok kategóriáját a gyűrű felett . A spektrális sorozat egy kiválasztott r 0 nemnegatív egész számból és egy három sorozatból áll:

Minden r ≥ r 0 egész szám esetén az E r objektumok , amelyeket lapoknak nevezünk,
A d r : E r → E r endomorfizmusok , amelyek kielégítik a d r o d r = 0-t, ezeket határleképezéseknek vagy differenciáloknak nevezzük,
E r+1 izomorfizmusai H -val ( E r ), E r homológiája d r -hez képest .

Általában az E r +1 és H ( E r ) közötti izomorfizmusokat kihagyjuk, helyette egyenlőségeket írunk.

A legegyszerűbb példa a C • lánckomplexum . A C • objektum a lánckomplexek Abeli-kategóriájából d differenciálművel van felszerelve . Legyen r 0 = 0 és E 0 C • . Ekkor E 1 a H ( C • ) komplex lesz: ennek a komplexnek az i -edik tagja az i -edik C • homológiacsoport . Az egyetlen természetes differenciál ezen az új komplexen a nulla térkép, ezért d 1 = 0-t állítunk be. Ekkor E 2 ugyanaz lesz, mint E 1 , és ismét az egyetlen természetes differenciál a nulla térkép. Feltételezve, hogy a differenciál az összes következő lapnál nulla, egy spektrális sorozatot kapunk, amelynek tagjai a következő alakúak:

E 0 = C •
E r = H ( C • ) minden r ≥ 1 esetén.

Ennek a spektrális sorozatnak a tagjai az első laptól stabilizálva vannak, mivel az egyetlen nem triviális differenciál a nullalapon volt. Ezért a következő lépésekben nem kapunk új információkat. Általában ahhoz, hogy hasznos információkat kapjon a következő lapokról, szükség van egy kiegészítő szerkezetre az E r -en .

A fent leírt nem osztályozott helyzetben r 0 nem számít, de a gyakorlatban a legtöbb spektrális sorozat az R gyűrű feletti kétszeres fokozatú modulok kategóriájában fordul elő (vagy egy gyűrűköteg feletti kettős fokozatú modulok kategóriájában ). Ebben az esetben minden lap egy kétszeres fokozatú modul, és a tagok közvetlen összegére bomlik, minden fokozatpárhoz egy tag. A határleképezés az egyes levéltagokon lévő határleképezések közvetlen összege. Mértékük r -től függ, és megegyezés szerint rögzítik. Homológ spektrális sorozat esetén a jelölő kifejezések , a differenciálok pedig kétfokúak (− r , r − 1). Kohomológiai spektrális sorozat esetén a kifejezések jelölnek, a differenciálok pedig kétfokozatúak ( r , 1 − r ). (Ezek a fokozatok a gyakorlatban természetesen felmerülnek; lásd az alábbi kettős összetett példát.) A spektrális sorrendtől függően az első lapon lévő határtérkép kétfokú, amely r = 0, r = 1 vagy r = 2 értéknek felel meg. például az alábbiakban leírt spektrális szekvencia szűrt komplex esetén r 0 = 0, de a Grothendieck spektrális szekvenciánál r 0 = 2. $E_{p,q}^{r}$ $E_{r}^{p,q}$

Legyen E r egy spektrális sorozat, amely például r = 0-val kezdődik. Ekkor van egy részobjektumok sorozata

0=B_{0}\subset B_{1}\subset B_{2}\subset \dots \subset B_{r}\subset \dots \subset Z_{r}\subset \dots \subset Z_{2 }\subset Z_{1}\subset Z_{0}=E_{0},

olyan, hogy ; Valóban, úgy hisszük és határozzuk meg, hogy ez a mag és a kép ${\displaystyle E_{r}\simeq Z_{r-1}/B_{r-1))$ $Z_{0}=E_{0},B_{0}=0$ ${\displaystyle Z_{r},B_{r))$ ${\displaystyle Z_{r}/B_{r-1},B_{r}/B_{r-1))$ $E_{r}{\overset {d_{r}}{\to }}E_{r}.$

Akkor tegyük fel ${\displaystyle Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r))$

{\displaystyle E_{\infty }=Z_{\infty }/B_{\infty ))

;

határtagnak nevezzük. (Persze lehet, hogy a kategóriában ez nem létezik, de ez általában nem probléma, hiszen pl. a modulok kategóriájában léteznek ilyen korlátok, vagy mert a gyakorlatban feldolgozott spektrumsorozatok legtöbbször degenerálódnak; a fenti sorozat csak véges számú zárványt tartalmaz.) ${\displaystyle E_{\infty ))$

Vizualizáció

Egy kétszeres fokozatú spektrumsorozat sok adatot tartalmaz, de létezik egy olyan vizualizációs módszer, amely érthetőbbé teszi a spektrális szekvencia szerkezetét. Három indexünk van, r , p és q . Képzeljük el, hogy minden r -hez van egy papírlapunk. Ezen a lapon növekszik p vízszintes irányban és q függőleges irányban. A rács minden pontjában van egy tárgyunk . $E_{r}^{p,q}$

Jellemzően n = p + q egy másik természetes index a spektrális sorozatban. n átlósan növekszik. Homológiai esetben a differenciálok két fokozatúak (− r , r − 1), így n 1-gyel csökken . Kohomológiai esetben n 1-gyel nő. Ha r nulla, a differenciál egy lépéssel felfelé vagy lefelé mozgatja az objektumokat. . Ez olyan, mint egy differenciálmű egy lánckomplexumban. Ha r egy, a differenciál egy lépéssel balra vagy jobbra mozgatja az objektumokat. Ha r egyenlő kettővel, akkor a differenciál olyan módon mozgatja az objektumokat, mint a sakkban a lovagok. Nagy r esetén a differenciál általánosított lovagmozdulatként működik.

Spektrális szekvencia konstrukciók

A szűrt komplex spektrumsorozata

Sok spektrális szekvencia szűrt kochain komplexekből származik. Ez egy C • kochain komplex F p C • szubkomplexumokkal , ahol p tetszőleges egész szám. (A gyakorlatban p általában az egyik oldalon korlátos.) A határleképezésnek konzisztensnek kell lennie ezzel a szűréssel; azaz d ( F p C n ) ⊆ F p C n+1 . A szűrést csökkenőnek tekintjük, azaz F p C • ⊇ F p+1 C • . A cochain komplex tagjait az n indexszel fogjuk megszámozni . Később azt is feltételezzük, hogy a szűrés Hausdorff vagy elválasztható, azaz minden F p C • metszéspontja nulla, és a szűrés kimerítő, vagyis az összes F p C • uniója a teljes kolánc komplex C • .

A szűrés hasznos, mert a nullához való közelség mértékét adja meg: p növekszik, F p C • közelebb kerül a nullához. Ebből a szűrésből egy spektrális szekvenciát fogunk felépíteni, amelyben a következő levelekben lévő kohatárok és kociklusok egyre közelebb kerülnek az eredeti komplex kohatárvonalaihoz és kociklusaihoz. Ezt a spektrális sorozatot kétszer osztályozzuk a p szűrési fok és a komplementer fok {{{1}}} szerint . (A komplementer hatvány gyakran kényelmesebb index, mint n . Például ez a helyzet az alábbiakban ismertetett bináris komplex spektrális sorozat esetében.)

Ezt a spektrális sorozatot kézzel fogjuk megszerkeszteni. A C • -nek csak egy osztályozása és szűrése van, ezért először egy kétszeres fokozatú objektumot készítünk C • -ből . A második fokozat megszerzéséhez a szűrés szempontjából átlépünk a hozzárendelt beosztású objektumra. Szokatlan módon fogjuk jelölni, amit az E 1 lépésben indokolunk :

{\displaystyle Z_{-1}^{p,q}=Z_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q))

B_{0}^{p,q}=0

E_{0}^{p,q}={\frac {Z_{0}^{p,q}}{B_{0}^{p,q}+Z_{-1}^{p+ 1 ,q-1}}}={\frac {F^{p}C^{p+q}}{F^{p+1}C^{p+q}}}

{\displaystyle E_{0}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{0}^{p,q))

Mivel azt feltételeztük, hogy a határleképezés összhangban van a szűréssel, az E 0 egy kétszeres fokozatú objektum, és létezik egy természetes, kétszeres fokozatú határleképezés d 0 E 0 -ra . Ahhoz, hogy E 1 -et kapjunk, E 0 homológiáját vesszük .

{\bar {Z}}_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0} ^{p,q+1}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}\ jobbra nyíl F^{p}C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}

{\bar {B}}_{1}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q -1}\rightarrow E_{0}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1} /F^{p+1}C^{p+q-1}\jobbra nyíl F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}

{\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac ({\bar {Z}}_{1}^{p,q}}({\bar {B}}_{1}^{ p,q}}}={\frac {\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\jobbra E_{0}^{p,q+1}}{ {\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q))))

E_{1}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{1}^{p,q}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }{ \frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}

Vegye figyelembe, hogy és képként írható le a következőben ${\bar {Z}}_{1}^{p,q}$ ${\bar {B}}_{1}^{p,q}$ ${\displaystyle E_{0}^{p,q))$

Z_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1} /F^{p+1}C^{p+q+1}

B_{1}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}\ jobbra nyíl C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}

és mi van nálunk

E_{1}^{p,q}={\frac {Z_{1}^{p,q}}{B_{1}^{p,q}+Z_{0}^{p+1 ,q-1}}}.

${\displaystyle Z_{1}^{p,q))$ pontosan az, amit a differenciál egy szinttel feljebb mozgat a szűrésben, és pontosan az a kép, amit a differenciál mozgat nulla szinttel feljebb a szűrésben. Ez azt sugallja, hogy úgy kell meghatároznunk , hogy a differenciálmű r szintje feljebb kerül a szűrésben, és a kép, hogy a differenciál mit mozgat, az r-1 szintje feljebb a szűrést. Más szavakkal, a spektrális sorozatnak meg kell felelnie ${\displaystyle B_{1}^{p,q))$ ${\displaystyle Z_{r}^{p,q))$ ${\displaystyle B_{r}^{p,q))$

Z_{r}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1} /F^{p+r}C^{p+q+1}

B_{r}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p-r+1,q+r-2}:F^{p-r+1} C^{p+q-1}\jobbra nyíl C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}

E_{r}^{p,q}={\frac {Z_{r}^{p,q}}{B_{r}^{p,q}+Z_{r-1}^{p +1,q-1}}}

és meg kell találnunk az arányt

B_{r}^{p,q}=d_{0}^{p,q}(Z_{r-1}^{p-r+1,q+r-2}).

Ahhoz, hogy ez érthető legyen, meg kell találnunk a d r differenciált minden E r -en , és ellenőriznünk kell, hogy a homológiája izomorf-e E r+1 -gyel . Differenciális

d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\rightarrow E_{r}^{p+r,q-r+1}

az eredeti d c különbségnek az alobjektumra való korlátozásaként van definiálva . $C^{p+q}$ ${\displaystyle Z_{r}^{p,q))$

Könnyen ellenőrizhető, hogy E r homológiája ehhez a differenciálhoz képest E r+1 , így spektrális sorozatot kapunk. Sajnos a különbséget nem írják le egyértelműen. A differenciálok megtalálása vagy a nélkülük való megküzdés az egyik fő probléma, amely a spektrális sorozat sikeres alkalmazásának útjában áll.

A kettős komplex spektrumsorozata

Egy másik gyakori spektrumsorozat a kettős komplex spektrumsorozata. A kettős komplexum C i, j objektumok halmaza az összes i és j egész számra , valamint két differenciál, d I és d II . Megállapodás szerint d I csökkenti i -t , d II pedig j -t . Sőt, feltételezzük, hogy ez a két differenciál anticommute, így d I d II + d II d I = 0. Célunk az iterált homológiák és a . Ezt úgy tesszük, hogy a kettős komplexünket kétféleképpen szűrjük. Íme a szűrőink: $H_{i}^{I}(H_{j}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))$ $H_{j}^{II}(H_{i}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))$

(C_{i,j}^{I})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}i<p\\C_{i,j}&{\text{ if }}i\geq p\end{cases}}

(C_{i,j}^{II})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}j<p\\C_{i,j}&{\text{ if }}j\geq p\end{cases}}

A spektrális sorozat megszerzéséhez a helyzetet az előző példára redukáljuk. A teljes komplexet T ( C •,• ) olyan komplexként definiáljuk , amelynek n- edik tagja ez , differenciálértéke pedig d I + d II . Ez egy komplexum, mivel d I és d II ingázás elleni különbségek. Két szűrés C i, j -n két szűrést indukál a teljes komplexen: ${\displaystyle \bigoplus _{i+j=n}C_{i,j))$

{\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j))

{\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{II}=\bigoplus _{i+j=n \atop j>p-1}C_{i,j))

Annak bizonyítására, hogy ezek a spektrális szekvenciák információt szolgáltatnak az iterált homológiáról, leírjuk az I szűrés E 0 , E 1 és E 2 kifejezéseit T -n ( C •,• ). Az E 0 tag egyszerű:

{}^{I}E_{p,q}^{0}=T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n}(C_{ \bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}{\Big /}\bigoplus _{ i+j=n \atop i>p}C_{i,j}=C_{p,q},

ahol n = p + q .

Az E 1 kifejezés megtalálásához le kell írnunk d I + d II -t E 0 -n . Vegyük észre, hogy a differenciálnak −1 fokozatúnak kell lennie n -hez képest , így megkapjuk a leképezést

d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{ n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q}\jobbra nyíl T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p }^{I}/T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q-1}

Ezért az E 0 -n lévő differenciál a C p , q → C p , q −1 leképezés , amelyet d I + d II indukál . De d rossz fokszámmal rendelkezik egy ilyen leképezés indukálásához, ezért d nullának kell lennie E 0 -n . Ez azt jelenti, hogy a differenciál pontosan d II , így kapjuk

{}^{I}E_{p,q}^{1}=H_{q}^{II}(C_{p,\bullet }).

Az E 2 megtalálásához meg kell határoznunk

d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:H_{q}^{II}(C_{p,\bullet })\rightarrow H_{q}^{ II}(C_{p+1,\bullet })

Mivel E 1 pontosan a homológia d II-hez képest , d II nulla E 1 - en . Ezért kapunk

{}^{I}E_{p,q}^{2}=H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(C_{\bullet ,\bullet })).

Egy másik szűréssel egy hasonló E 2 tagú spektrális sorozatot kapunk :

{}^{II}E_{p,q}^{2}=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet })).

Továbbra is meg kell találni a kapcsolatot e spektrális szekvenciák között. Kiderült, hogy az r növekedésével a két szekvencia eléggé hasonló lesz ahhoz, hogy hasznos összehasonlításokat lehessen végezni.

Konvergencia és degeneráció

Az általunk kiinduló elemi példában a spektrális sorozat levelei r =1-től kezdve állandóak voltak. Ebben a helyzetben célszerű egy lapsorozat határértékét venni: mivel a nullalap után nem történik semmi, az E ∞ határlapja megegyezik E 1 -gyel .

Általánosabb helyzetekben a limitlapok gyakran léteznek, és mindig érdekesek. Ezek a spektrális sorozatok egyik legfontosabb aspektusai. Azt mondjuk, hogy egy spektrális sorozat konvergál ahhoz , hogy létezik r ( p , q ) úgy, hogy minden r ≥ r ( p , q ) esetén a és a differenciálok nullák. Ebből következik, hogy izomorf lesz nagy r esetén . Ezt a következőképpen jelöljük: $E_{r}^{p,q}$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q))$ $d_{r}^{pr,q+r-1}$ ${\displaystyle d_{r}^{p,q))$ $E_{r}^{p,q}$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q))$

{\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q))

Itt p a szűrési indexet jelöli. A kifejezést gyakran a konvergencia bal oldalára írják, mert sok spektrális sorozatban ez a leghasznosabb kifejezés. ${\displaystyle E_{2}^{p,q))$

A legtöbb spektrális sorozatban a kifejezés természetesen nem kétszeres fokozatú. Ehelyett általában vannak természetes szűréssel rendelkező tagok . Ezekben az esetekben feltételezzük . A konvergenciát ugyanúgy definiáljuk, mint korábban, de írunk ${\displaystyle E_{\infty ))$ ${\displaystyle E_{\infty }^{n))$ ${\displaystyle F^{\bullet }E_{\infty }^{n))$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}E_{\infty }^{p+q}=F^{p}E_{\infty }^{ p+q}/F^{p+1}E_{\infty }^{p+q))$

{\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{n))

ami azt jelenti, hogy ha p + q = n , akkor konvergál -hoz . $E_{r}^{p,q}$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q))$

A legegyszerűbb esetben konvergenciát állapíthatunk meg, ha a spektrumsorozat degenerálódik. Azt mondjuk, hogy egy spektrális sorozat az r-edik levélben degenerálódik, ha bármely s ≥ r esetén a d s differenciál értéke nulla. Ez azt jelenti, hogy E r ≅ E r +1 ≅ E r +2 ≅ … Ebből különösen az következik, hogy E r izomorf E ∞ -vel . Ez történt a szűretlen lánckomplexum első triviális példájában: a spektrális szekvencia degenerált az első levélben. Általánosságban elmondható, hogy ha egy kétszeres fokozatú spektrális sorozat nulla a vízszintes vagy függőleges sávon kívül, akkor a spektrális szekvencia degenerálódik, mivel a későbbi differenciálok mindig a sávon kívüli objektumból lépnek be vagy származnak.

Egy spektrális sorozat akkor is konvergál, ha eltűnik minden p esetén, amely kisebb, mint néhány p 0 , és minden q esetén, amely kisebb, mint néhány q 0 . Ha p 0 és q 0 értéke nulla, ezt első negyedes spektrális sorozatnak nevezzük . Ez a sorozat konvergál, mert minden objektum meghatározott távolságra van a nem nulla régió határától. Ezért a rögzített p és q esetén a későbbi lapokon a differenciál mindig a nullobjektumra vagy onnan van leképezve. Hasonlóképpen egy spektrális sorozat is konvergál, ha minden p esetén eltűnik, amely nagyobb, mint valami p 0 , és minden q esetén, amely nagyobb, mint valami q 0 . $E_{r}^{p,q}$ $E_{r}^{p,q}$ $E_{r}^{p,q}$

Irodalom

A. T. Fomenko, D. B. Fuks. Homotópia topológia tanfolyam. - M .: Nauka, 1989. - 528 p.
Hatcher, Allen, Spektrális szekvenciák az algebrai topológiában