Véletlenszerű elem

A véletlen elem a valószínűségi változó fogalmának általánosítása . A kifejezést nyilvánvalóan M. Frechet (1948) vezette be, aki megjegyezte, hogy „a valószínűségelmélet fejlődése és alkalmazási körének bővülése oda vezetett, hogy el kellett térni azoktól a sémáktól, ahol a tapasztalatok (véletlenszerű) kimenetelei lehetnek. számmal vagy véges számkészlettel írható le olyan sémákra, ahol a tapasztalat eredménye például vektorok , függvények , folyamatok , mezők , sorozatok , transzformációk, valamint halmazok vagy halmazok halmazai.

Definíció

Legyen egy valószínűségi és egy mérhető tér . Ekkor a mérhető függvényt véletlenszerű elemnek (-ben lévő értékekkel ) vagy -értékű valószínűségi változónak nevezzük. $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $(E,{\mathcal {E))$ $X:(\Omega ,{\mathcal {F)),\mathbb {P} )\to (E,{\mathcal {E)))$ $E$ $E$

Példák véletlenszerű elemekre

Ha , hol van a valós tengely, és a részhalmazainak Borel -algebrája, akkor az S.e. egybeesik a valószínűségi változó definíciójával . $(E,{\mathcal {E}})=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ $\mathbb {R}$ ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ $\sigma$

S.e. meghatározása egy Banach térben egy valószínűségi változó definíciójához hasonlít. Legyen k kettős tere. Az elemi események terének leképezését véletlenszerű elemnek nevezzük, ha minden folytonos lineáris függvény valószínűségi változónak bizonyul. A S.e. egy Banach-térben kiterjeszthetők a valószínűségszámítás alapfogalmai, mint például a karakterisztikus függvény , a matematikai elvárás , a kovariancia stb. $x$ $B$ $B^{*}$ $B$ $X=X(\omega )$ $\Omega$ $\omega$ $B$ $X^{*}(X(\omega ))$

S.e. tetszőleges terekben lévő értékekkel a valószínűségszámítás néhány alapfogalma nem definiálható. Például lehetetlen meghatározni a matematikai elvárás klasszikus fogalmát SE-re, amelynek értéktere nem lineáris (Véletlen véges absztrakt halmaz, véletlenszerű események halmaza). Ilyen helyzetekben általában a klasszikus fogalmak egyik vagy másik analógját használják (Mean-dimensional set).

Különféle természetű véletlenszerű elemek

Véletlenszerű érték
Diszkrét valószínűségi változó
Folyamatos valószínűségi változó
Komplex valószínűségi változó
Egyszerű valószínűségi változó
véletlen vektor
véletlen mátrix
véletlenszerű függvény
véletlenszerű folyamat
véletlenszerű mező
véletlenszerű mérték
véletlenszerű halmaz
Véletlenszerű zárt készlet
Véletlenszerű kompakt készlet
Véletlen "pont"
Véletlen alak
véletlenszerű alakzat
Véletlen véges halmaz
Véletlenszerű véges absztrakt készlet
Véletlenszerű események halmaza

Irodalom

Frechet, M. (1948) Les elements aleatories de nature quelconque dans un espace distancie. Ann.Inst.H.Poincare 10, 215-310.
Shiryaev A. N. (1980) Valószínűség. - M .: Nauka, 576s.

Lásd még

Mérhető funkció