Von Neumann-Bernays-Gödel axiómarendszer

A Neumann-Bernays-Gödel axiómarendszer ( NBG , Gödel-Bernays axiomatika ) a metamatematikában az egyik fő axiomatikus halmazelmélet . Ez a rendszer a kanonikus Zermelo-Fraenkel elmélet kiterjesztése a választási axiómával ( ZFC ). A ZFC elmélet nyelvén megfogalmazott mondatok akkor és csak akkor bizonyíthatóak a ZFC-ben, ha az NBG-ben bizonyíthatóak.

Az NBG elmélet ezenkívül magában foglalja a saját osztályának fogalmát is - egy objektum, amelynek vannak elemei, de amely maga nem lehet tagja egyetlen objektumnak sem. Az NBG csak olyan fogalommeghatározásokat tartalmaz, amelyek nem utalnak a meghatározandó fogalomra; a képletekben a kötött változók értékeit csak beállíthatjuk. Ennek az elvnek a kizárása (a definíciókban definiált fogalomra való hivatkozások hiánya) az NBG rendszert Morse-Kelly rendszerré (MK) változtatja. Az NBG, ellentétben a ZFC-vel és az MK-val, véges axiomatizálható (véges számú axiómával).

Fogalomrendszer

Az NBG alapvető eleme a sajátosztályok és halmazok megkülönböztetése . Legyenek és tárgyak. Ekkor egy egyszerű propozíciót definiálunk, ha halmaz és osztály; más szóval, akkor van meghatározva, ha nem saját osztálya. Az osztályok nagyon nagyok lehetnek, az NBG-nek még egy osztálya is van minden halmazból, egy általános osztály, amelyet . Az NBG-ben azonban lehetetlen, hogy minden osztályból legyen egy osztály (hiszen egy megfelelő osztály nem lehet egy osztály tagja), vagy egy halmaz halmaza (léte ellentmond az axiómarendszernek ). $a$ $s$ $a\in s$ $a$ $s$ $a\in s$ $a$ $V$

Az NBG axiómák rendszerében minden olyan objektum, amely megfelel az NBG elsőrendű logika összes adott formulájának, egy osztályt alkot. Ha egy osztály nem tudja kielégíteni a ZFC axiómarendszert, akkor az a saját osztálya . Az osztályok fejlődése a naiv halmazelmélet fejlődését tükrözi. Adott az absztrakció elve, ami azt jelenti, hogy minden objektumból osztályok képezhetők, amelyek az elsőrendű logika összes mondatát kielégítik; sőt az egyszerű mondatok tartalmazhatnak tagsági relációt vagy ezt a relációt használó predikátumokat. Az egyenlőség, az elempár képzésének művelete, az alosztályok és más hasonló fogalmak meghatározottak, és nem igényelnek axiomatizálást - definícióik a képlet konkrét absztrakcióját jelentik. A halmazokat a ZF-hez közeli metódus írja le. A Define (a halmaz az osztályt jelöli ) egy bináris reláció , amelyet így definiálunk $\operatorname {Rp} (A,a)$ $a$ $A$

$\operatorname {Rp} (A,a):=\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in a).$

Ez azt jelenti, hogy azt jelenti, hogy minden elem tartozik -e , és fordítva. Azokat az osztályokat, amelyeknek nincs reprezentatív halmaza, megfelelő osztályoknak nevezzük [1] . Példa a megfelelő osztályra az összes olyan halmaz osztálya, amely nem tartalmazza önmagát (egy osztály, amely Russell paradoxonjára hivatkozik ). $a$ $A$ $a$ $A$

Történelem

Az NBG első változata nem halmazokat, hanem függvényeket tartalmazott alapfogalmakként (von Neumann, 1920-as évek). Paul Bernays 1937 és 1954 között publikált cikkeinek sorozatában módosította von Neumann elméletét, hogy halmazokat és a tagsági viszonyokat alapfogalmakká alakítsa; azt is megállapította, hogy ez az elmélet véges számú axiómával axiomatizálható. Gödel (1940), miközben a kontinuumhipotézis függetlenségét vizsgálta , leegyszerűsítette és felhasználta az elméletet. Montagu megmutatta, hogy a ZFC-t nem lehet végleg axiomatizálni.

Az NBG axiomatizálása

A következőkben a kisbetűs változók halmazokat, a nagybetűs változók pedig osztályokat jelölnek. Tehát ez azt jelenti, hogy a halmaz a halmazhoz tartozik (egy eleme a halmaznak ); a azt jelenti, hogy a halmaz az osztály tagja . A , , kifejezések ezt jelentik (itt az egyszerűség kedvéért nem leszünk teljesen szigorúak). Formális rendszer leírásánál használhatunk egy típusú szimbólumokat, és a halmazok olyan osztályok lennének, amelyek legalább egy másik osztály tagjai. $x\in y$ $x$ $y$ $y$ $x\in Y$ $x$ $Y$ $x=y$ $x=Y$ $X=Y$ $\forall a(a\in X\leftrightarrow a\in Y)$

Először is megszerkesztjük az NBG axiómarendszert az osztálygenerációs axióma séma segítségével (a séma az axióma végtelen halmazának felel meg). Ez a séma 9 axiómának felel meg [2] . Így ez a 9 axióma helyettesítheti az osztálygenerálási sémát. Így az NBG véges axiomatizálható.

Az axiómarendszer, beleértve az osztálygenerálási sémát

A következő 5 axióma megegyezik a megfelelő ZFC axiómákkal

Extenzionalitás axiómája . . Az azonos elemeket tartalmazó halmazok egyenlőek. $\forall x(x\in a\leftrightarrow x\in b)\rightarrow a=b$
Páros létezési axióma . . Minden halmazhoz és halmazhoz van egy halmaz, amelynek elemei csak és ). Egy pár létezésének axiómájából (feltételezve ) következik, hogy minden halmazhoz tartozik egy halmaz, amely csak egy elemből áll: . Továbbá definiálhatunk egy rendezett halmazpárt például: . Az alosztály osztálygenerálási sémáját használva (lásd alább) azt kapjuk, hogy minden reláció egyben osztály is. Néhány ilyen reláció egy vagy több változó függvénye, injektálása, bijekciója egyik osztályból a másikba. A párlétezési axióma egy axióma a Zermelo halmazelméletben és egy tétel a ZFC-ben. ${\displaystyle \forall x\forall y\exists z\forall w{\big (}w\in z\leftrightarrow (w=x\lor w=y){\big )))$ $x$ $y$ ${\megjelenítési stílus \{x,y\))$ $x$ $y$ $x=y$ $x$ $\{x\}$ $(a,b)$ ${\big \{}\{a\},\{a,b\}{\big \))$
Egyesítési axióma . Minden halmazhoz tartozik egy halmaz, amely pontosan az elemek összes elemét tartalmazza . $x$ $x$
A részhalmazok axiómája . Minden halmazhoz van egy halmaz, amely pontosan az összes részhalmazból áll . $x$ $x$
A végtelenség axiómája . Van egy halmaz , amely két feltételt teljesít: az üres halmaz a -hoz tartozik ; minden , amelyhez tartozik , a halmaz is hozzátartozik . Ezt az axiómát úgy is meg lehet fogalmazni, hogy az üres halmaz létezését feltételezi [3] . $x$ $x$ $y$ $x$ ${\big \{}y,\{y\}{\big \))$ $x$

A következő axiómák elsősorban az osztályok tulajdonságait írják le (és ezért nagybetűket is tartalmaznak). Közülük az első kettő csak annyiban különbözik a ZFC-től, hogy a kisbetűket nagybetűkre cserélik.

Extencialitási axióma (osztályokra) . . Az azonos elemekkel rendelkező osztályok egyenlő osztályok. $\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)\rightarrow A=B$
A szabályosság axiómája . Minden nem üres osztály tartalmaz egy elemet, amelynek metszéspontja üres. $A$ $A$

Az utolsó két axióma az NBG jellemzője.

A teljesítménykorlátozás axiómája . Minden osztályhoz akkor és csak akkor létezik a feltételt kielégítő halmaz , ha nincs bijekció az összes halmaz és az osztály között . Ebből az axiómából von Neumannnak köszönhetően levezethető a részhalmaz axióma séma, a transzformációs axióma séma és a globális választási axióma. Különösen a globális választás axiómája vezethető le, mivel a sorszámok osztálya nem halmaz; tehát bijekció van az összes sorszám osztálya és a között . Ha a kardinalitási kényszer axiómáját a következőre lazítjuk: ha egy osztályfüggvény tartománya halmaz, akkor a tartomány is halmaz – akkor a választási axióma semmilyen formában nem NBG tétel. Ebben az esetben a választási axióma bármely formában hozzáadható axiómaként, ha szükséges. A választás axiómája ebben a formában Mendelson (1997) NGB-ben található. Ott találjuk a halmazokra szokásos választási axiómát és a transzformációs axióma séma következő alakját: ha egy osztály olyan függvény, amelynek tartománya halmaz, akkor a tartománya is halmaz [4] $C$ $c$ $c=C$ $C$ $V$ $V$ $F$
Az alosztálygenerálás axióma sémája . Minden olyan képlethez , amely nem tartalmazza az osztályváltozók kvantorait (a képlet tartalmazhat osztályváltozókat paraméterként), van egy osztály , amelyre . Ez az axióma a naiv halmazelmélet korlátlan allokációjának (részhalmazainak) elvét érvényesíti. Az osztályokat azonban előnyben részesítik a halmazokkal szemben, mivel a paradoxonokat kiiktatják a halmazelméletből. $\varphi$ $A$ ${\displaystyle \forall x{\big (}x\in A\leftrightarrow \varphi (x){\big )))$

Az alosztálygenerációs axióma séma az egyetlen séma az NBG-ben. Az alábbiakban bemutatjuk, hogyan helyettesíthető ez a séma számos speciális esettel, aminek következtében az NBG véges axiomatizálhatóvá válik. Ha egy képletben a kötött változók átívelhetnek osztályokat (és nem csak halmazokat), akkor megkapjuk a Morse-Kelly halmazelméletet, a ZFC megfelelő kiterjesztését, amelyet nem lehet véges axiomatizálni. $\varphi(x)$

Az alosztálygenerálási séma cseréje számos speciális esettel

Az NBG vonzó és kissé rejtélyes tulajdonsága, hogy az alosztályozási séma több speciális esetet leíró axiómával helyettesíthető. A következő axiómák teljesen helyettesíthetik az alosztálygenerálási sémát. Az alábbiakban közölt axiomatizációs módszer nem feltétlenül esik egybe a nyomtatott forrásokban [5] találhatóval .

Axiomatizációnkat a képletek szerkezetének leírásával írjuk le. Először is rendelkeznünk kell egy kezdeti osztálykészlettel.

Készletek . Minden halmazhoz van egy olyan osztály , hogy . Ez az axióma az előző szakasz halmazaxiómáival együtt megadja az osztályok kezdeti halmazát, és lehetővé teszi, hogy olyan képleteket írjunk, amelyekben osztályok vannak paraméterként. $x$ $x$ $X=x$

Ezután leírjuk azt a módszert, amellyel a propozíciós logika kifejezéseit alkotjuk. Hagyjuk és . Aztán , . Mivel a műveletek és a propozíciós logika bármilyen kifejezését felírhatjuk, elegendő az osztályok összeadását és metszetét meghatároznunk. ${\displaystyle A=\{x\mid \varphi \))$ ${\displaystyle B=\{x\mid \psi \))$ $\{x\mid \lnot \varphi \}=VA$ $\{x\mid \varphi \vee \psi \}=A\cup B$ $\lnem$ $\föld$

Kiegészítés . Minden osztály esetében a kiegészítés egy osztály. $A$ $VA=\{x\mid x\notin A\}$
kereszteződés . Bármely osztályhoz és a metszéspont egy osztály. $A$ $B$ $A\cap B=\{x\mid x\in A\land x\in B\}$

Most elkezdünk haladni a kvantorok képletekben való szerepeltetése felé. Több változó használatához képesnek kell lennie a kapcsolatok leírására. Definiáljunk egy rendezett párt , és szokás szerint: . Ezután rendezett párok segítségével írjuk le az axiómákat: $a$ $b$ ${\big \{}\{a\},\{a,b\}{\big \))$

Termék . Bármely osztályhoz , és a termék egy osztály (a gyakorlatban csak a -ra van szükségünk ). $A$ $B$ $A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\}$ $V\times A$
Permutációk . Minden osztályhoz vannak osztályok . $R$ $\operatorname {Conv1} (R)=\{(b,a)\mid (a,b)\in R\},$ $\operatorname {Conv2} (R)={\big \{}{\big (}b,(a,c){\big )}\,{\big |}\,{\big (}a ,(b,c){\big )}\in R{\big \)).$
Aszociativitás . Minden osztályhoz vannak osztályok . $R$ $\operatorname {Assoc1} (R)={\big \{}{\big (}(a,b),c)\,{\big |}\,{\big (}a,(b, c){\big )}\in R{\big \)),$ $\operatorname {Assoc2} (R)={\Big \{}{\Big (}d,{\big (}a,(b,c){\big )}{\Big )}\,{ \Big |}\,{\Big (}d,{\big (}(a,b),c){\big )}{\Big )}\in R\}.$

Ezek az axiómák lehetővé teszik álargumentumok hozzáadását, valamint az argumentumok sorrendjének megváltoztatását bármilyen aritású relációban . Az asszociativitás egy speciális formáját kifejezetten arra tervezték, hogy bármilyen kifejezést a listából a lista elejére mozgathasson (természetesen permutációkkal is). Az argumentumok listáját a következőképpen ábrázoljuk ( vagyis fej (első argumentum) és farok (egyéb argumentumok) párjaként). Az ötlet az, hogy addig alkalmazzuk, amíg a minket érdeklő érv a második lesz, majd alkalmazzuk a vagy , majd alkalmazzuk a használatáig . $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ ${\displaystyle {\big (}x_{1},(x_{2},\ldots ,x_{n}){\big )))$ $\operátornév {Assoc1}$ $\operátornév {Assoc1}$ $\operátornév {Assoc2}$ $\operátornév {Assoc2}$ $\operátornév {Assoc1}$

Ezután a következő állításkészletet szeretnénk axiomatizálni: ha egy osztály egy reláció, akkor a tartománya egy osztály. $\{(x,y)\mid \varphi (x,y)\}$ $\{y\mid \exists x\,\varphi (x,y)\}$

Tartományok . Minden osztályhoz tartozik egy osztály . $R$ ${\displaystyle \operatorname {Rng} (R)=\{y\mid \exists x\,(x,y)\in R\))$

Így megkaptuk az egzisztenciális kvantort; az univerzális kvantort az egzisztenciális kvantor és a tagadás révén kaphatjuk meg. A fenti axiómák lehetővé teszik, hogy egy argumentumot az argumentumlista elejére helyezzünk, hogy kvantort alkalmazhassunk rá.

Végül minden egyszerű képlet magában foglalja a következő relációk létezését az osztályokon:

Affiliáció . Van egy osztály . ${\displaystyle [{\in }]=\{(x,y)\mid x\in y\))$
Átlós osztály . Van egy osztály . ${\displaystyle [{=}]=\{(x,y)\mid x=y\))$

Az átlós osztály az argumentumok átrendezésének és álargumentumok hozzáadásának lehetőségével együtt lehetővé teszi, hogy ugyanazokat az argumentumokat relációkba helyettesítse.

Mendelssohn változata

Mendelssohn B1-B7 axiómáit az osztályok létezésének axiómáiként említi. Ezek közül négy egybeesik a fentiekkel: B1 - hozzátartozó; B2 - kereszteződés; B3 - összeadás; B5 - szorzás. B4 - a tartományt a tartomány létezésének formájában adjuk meg (a létezési kvantor y , nem y ). Az utolsó két axióma a következő: $y$ $x$

B6 $\forall X\,\exists Y\,\forall uvw\,[(u,v,w)\in Y\leftrightarrow (v,w,u)\in X],$
B7 $\forall X\,\exists Y\,\forall uvw\,[(u,v,w)\in Y\leftrightarrow (u,w,v)\in X].$

A B6 és B7 lehetővé teszi, hogy azt tegyük, amit esetünkben a permutációs és asszociativitási axiómák segítségével tettünk. Minden hármasokat tartalmazó osztályhoz van egy másik osztály, amely ugyanazokat a hármasokat tartalmazza, amelyben az elemek ugyanúgy permutáltak.

Beszélgetések

Az NBG által felvetett filozófiai és ontológiai kérdésekről, különösen a ZFC-vel és az MK-val való különbségekkel kapcsolatban, lásd Potter (2004) C. függelékét.

Annak ellenére, hogy az NBG a ZFC kiterjesztése, egyes tételek egyszerűbben és elegánsabban bizonyíthatók az NBG-ben, mint a ZFC-ben (vagy fordítva). Az ezen a területen ismert eredmények áttekintését lásd Pudlak (1998).

Modellelmélet

A ZFC, MK, NBG egy modellt használ (standard modell a ZFC-ben és univerzum az NBG-ben). Most legyen benne egy elérhetetlen kardinális szám . Jelöljük ki a meghatározott részhalmazokat . Akkor $V$ $V$ $k$ $\operatorname {Def} (x)$ $\Delta _{0}$ $x$

$V_{k}$ egy ZFC modell.
$\operatorname {Def} (X)$ az NBG modell,
$V_{{k+1}}$ az MK modell.

Kategóriaelmélet

Az NBG fogalomrendszer lehetővé teszi, hogy nagy tárgyakról beszéljünk anélkül, hogy fennállna annak a veszélye, hogy paradoxonba botlunk. A kategóriaelmélet számos értelmezésében a nagy kategória olyan kategóriát jelent, ahol az objektumok halmaza saját osztálya, akárcsak a morfizmusok halmaza. A kis kategóriák viszont olyan kategóriák, ahol az objektumok és a morfizmusok halmazai halmazok. Ezért a paradoxonok kockázata nélkül beszélhetünk az összes halmaz kategóriájáról vagy az összes kis kategória kategóriájáról. Ezek a kategóriák természetesen nagyok. De nem lehet minden kategória kategóriájáról beszélni, hiszen annak minden kis kategória kategóriáját is tartalmaznia kellene. A fogalomrendszereknek azonban vannak más kiterjesztései is, amelyek lehetővé teszik, hogy az összes kategória halmazáról kategóriaként beszéljünk (lásd Adámek et al. (1990) az összes kategória kvázi kategóriáját).

Az osztályokat és halmazokat tartalmazó fogalomrendszer elegendő a kategóriaelmélet igazolására (Muller, 2001).

Jegyzetek

↑ angol kifejezés . A megfelelő osztályt megfelelő osztálynak fordítják S. McLane "Categories for the Working Mathematician" című lefordított könyve szerint.
↑ Mendelson (1997), p. A 232. 4.4. állítás bizonyítja, hogy az osztálygenerálási séma ekvivalens a 12. oldalon leírt B1-B7 axiómákkal. 230.
↑ Mendelson (1997), p. 239, pl. 4.22(b).
↑ Mendelson (1997), p. 239, R. axióma.
↑ Ez a cikk az angol Wikipédiából készült fordítás.

Irodalom

Adámek, Jiří; Herrlich, Horst & Strecker, George E. (1990), Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats) (1. kiadás), New York: Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-60922-3 , < http: //katmat.math.uni-bremen.de/acc/ >
Bernays, Paul (1937), Axiomatikus halmazelmélet rendszere – I. rész , The Journal of Symbolic Logic 2. kötet (1): 65–77 , DOI 10.2307/2268862
Bernays, Paul (1941), Axiomatikus halmazelmélet rendszere – II. rész , The Journal of Symbolic Logic 6. kötet (1): 1–17 , DOI 10.2307/2267281
Bernays, Paul (1991), Axiomatic Set Theory (2. felülvizsgált kiadás), Dover Publications, ISBN 978-0-486-66637-2
Bourbaki, Nicolas (2004), Elements of Mathematics: Theory of Sets , Springer, ISBN 978-3-540-22525-6 , < https://archive.org/details/springer_10.1007-978-3-642-59309 -3 >
Chuaqui, Rolando (1981), Axiomatic Set Theory: Impredicative Theories of Classes , North-Holland, ISBN 0-444-86178-5
Cohen, Paul (1963), The Independence of the Continuum Hypothesis , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 50 (6): 1143–1148, PMID 16578557 , DOI 10.1073/pnas.5.50.6.
Cohen, Paul (1966), Halmazelmélet és a kontinuum hipotézis , W. A. Benjamin
Dawson, John W. (1997), Logikai dilemmák: Kurt Gödel élete és munkássága , Wellesley, MA: A. K. Peters
Easton, William B. (1964), A rendes bíborosok jogköre , Princeton Egyetem
Felgner, Ulrich (1971), A lokális és egyetemes választás axiómáinak összehasonlítása , Fundamenta Mathematicae T. 71: 43–62, doi : 10.4064/fm-71-1-43-62 , < http://matwbn.icm. edu.pl/ksiazki/fm/fm71/fm7113.pdf >
Ferreirós, José (2007), A Gondolat labirintusa: A halmazelmélet története és szerepe a matematikai gondolkodásban (2. felülvizsgált kiadás), Basel, Svájc: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7
Gödel, Kurt (1940), A választási axióma és az általánosított kontinuumhipotézis összhangja a halmazelmélet axiómáival (felülvizsgált kiadás), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07927-1
Gödel, Kurt (1986), Összegyűjtött művek, 1. kötet: Publikációk 1929–1936 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-514720-9
Gödel, Kurt (1990), Összegyűjtött művek, 2. kötet: Publikációk 1938–1974 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-514721-6
Gödel, Kurt (2003), Összegyűjtött művek, 4. kötet: A–G levelezés , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850073-5
Gray, Robert (1991), Számítógépes programok és matematikai bizonyítékok , The Mathematical Intelligencer 13. kötet (4): 45–48 , DOI 10.1007/BF03028342
Hallett, Michael (1984), Cantorian Set Theory and Limitation of Size (kemény kötésű kiadás), Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853179-1
Kanamori, Akihiro (2009b), The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from the Beginnings , Springer, ISBN 978-3-540-88867-3
Kanamori, Akihiro (2009), Bernays and Set Theory , Bulletin of Symbolic Logic 15. kötet (1): 43–69, doi : 10.2178/bsl/1231081769 , < http://math.bu.edu/people/aki/ 17a.pdf >
Kanamori, Akihiro (2012), In Praise of Replacement , Bulletin of Symbolic Logic vol. 18 (1): 46–90, doi : 10.2178/bsl/1327328439 , < http://math.bu.edu/people/aki/ 20.pdf >
Kunen, Kenneth (1980), Halmazelmélet: Bevezetés a függetlenség bizonyításához (kemény kötésű kiadás), North-Holland, ISBN 978-0-444-86839-8
Mendelson, Elliott (1997), An Introduction to Mathematical Logic (4. kiadás), London: Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-0-412-80830-2 - o. 225-86 tartalmazzák az NBG klasszikus tankönyvi kezelését, bemutatva, hogyan teljesíti azt, amit a halmazelmélettől várunk, földelési relációk , sorrendelmélet , sorszámok , transzfinit számok stb.
Mirimanoff, Dmitry (1917), Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fundamental de la théorie des ensembles, L'Enseignement Mathématique T. 19: 37–52
Montague, Richard (1961), Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I, Buss, Samuel R. , Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics , Pergamon Press, p. 45–69
Mostowski, Andrzej (1950), Néhány impredikatív definíció az axiomatikus halmazelméletben , Fundamenta Mathematicae 37: 111–124, doi : 10.4064/fm-37-1-111-124 , < http: //matedwbn.icm . .pl/ksiazki/fm/fm37/fm37110.pdf >
Muller, FA (2001. szeptember 1.), Szettek, osztályok és kategóriák , British Journal for the Philosophy of Science, 52 (3): 539–73, doi : 10.1093/bjps/52.3.539 , < http://philsci -archive.pitt.edu/1372/1/SetClassCat.PDF >
Müller, Gurt, szerk. (1976), Sets and Classes: On the Work of Paul Bernays , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 84. kötet, Amszterdam: North Holland, ISBN 978-0-7204-2284-9
Potter, Michael (2004), Halmazelmélet és annak filozófiája: kritikai bevezető (kemény kötésű kiadás), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-926973-0
Pudlák, Pavel (1998), The Lengths of Proofs , in Buss, Samuel R. , Handbook of Proof Theory , Elsevier, p. 547-637, ISBN 978-0-444-89840-1
Smullyan, Raymond M. & Fitting, Melvin (2010), Halmazelmélet és a kontinuum probléma , Dover, ISBN 978-0-486-47484-7
Solovay, Robert M. (1990), Bevezető jegyzet 1938 -hoz , 1939 -hez , 1939a -hoz és 1940 -hez , Kurt Gödel összegyűjtött munkái, 2. kötet: 1938–1974-es publikációk , Oxford University Press, p. 1–25, ISBN 978-0-19-514721-6
von Neumann, John (1923), Zur Einführung der transfiniten Zahlen , Acta Litt. Acad. Sc. Szeged X. T. 1: 199–208 , < http://bbi-math.narod.ru/newmann/newmann.html >
von Neumann, John (1925), Eine Axiomatisierung der Mengenlehre , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik T. 154: 219–240 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/? PPN=PPN243919689_0154&DMDID=DMDLOG_0025 >

Linkek

von Neumann, John (1928), Die Axiomatisierung der Mengenlehre , Mathematische Zeitschrift T. 27: 669–752, doi : 10.1007/ bf01171122 , PPN266833020 .
von Neumann, John (1929), Über eine Widerspruchsfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik T. 160: 227–241 , < http: //gdz.sub.uni-goettingen/load/de/ img/?PPN=PPN243919689_0160&DMDID=DMDLOG_0019 > .

Szótárak és enciklopédiák	Britannica (online)