Egyszerű homológia

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. április 4-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

Szimplexumok és komplexek

A szimplex dimenziópontokkonvex halmaza , amelyek nemegydimenziós altérben helyezkednek el. A 0-dimenziós szimplexegy pont, egy 1-dimenziósszakasz, egy 2-dimenziósháromszög, egy 3-dimenzióstetraéder stb. A pontok egy részének által generált szimplexeta nagy szimplex lapjának nevezzük. $k$ $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $(k-1)$ $\langle a_{0}\rangle$ $\langle a_{0},a_{1}\rangle$ $\langle a_{0},a_{1},a_{2}\rangle$ $\langle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}\rangle$ $\langle a_{i}\rangle$

Ezután bevezetjük az egyszerű komplex fogalmát (hangsúllyal az e-re). A komplexum olyan egyszerűségek halmaza, amelyek mindegyikével a komplex az összes lapját tartalmazza, és bármelyik két egyszerűségnek vagy egyáltalán nincs közös pontja, vagy csak valamely dimenzió teljes lapja mentén metszik egymást, és csak egy lapon. Általában azt is megkövetelik, hogy a komplexum bármely pontjának legyen olyan szomszédsága, amely legfeljebb véges számú egyszerűséggel metszi egymást (az úgynevezett lokális véges ). $K$

Lánccsoport

Tekintsünk egy fokozatos Abel - csoportot a komplex egyszerűsítései által generált egész együtthatókkal, az ún. egy lánccsoport , amely dimenziós lánccsoportok közvetlen összege . $C(K)$ $k:\;C_{k}(K)$

Az egyszerűségek tájolásúnak tekinthetők, a szimplexet pedig egyenlőnek tekintjük , ha a permutáció páros, és ellenkező előjelűnek, ha páratlan. $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $\langle a_{\sigma (0)},a_{\sigma (1)},...~a_{\sigma (k)}\rangle$ $\sigma$

Határ operátor

Meghatározzuk az operátort a geometriai oldal $én$ felvételéhez :

$\langle a_{0},...~a_{i},...~a_{k}\rangle \to (-1)^{i}\langle a_{0},...~{\hat {a_{i}}},...~a_{k}\rangle$ , ahol azt jelenti, hogy a -edik csúcsot ki kell hagyni. ${\kalap {a_{i))}$ $én$

A geometriai lap felvételének operátora csak magától a szimplextől függ, de nem a szimplexet meghatározó csúcsok sorrendjétől.

Ehhez elegendő annak bizonyítása, hogy a -edik lap felvételének operátora nem változik két csúcs felcserélésekor (transzpozíció). Ha ez az átültetés nem érinti , akkor ez nyilvánvaló. Ha átrendeződik a -edik helyre, akkor van (legyen például ): $én$ $a_{i}$ $a_{i}$ $j$ $j<i$

{\begin{matrix}\langle a_{0},...~a_{j},...~a_{i},...~a_{k}\rangle =-\langle a_{0}, ...~a_{i},...~a_{j},...~a_{k}\rangle \to -(-1)^{j}\langle a_{0},...~ {\hat {a_{i))},...~a_{i-1},~a_{j},...~a_{k}\rangle =\\=-(-1)^{j }(-1)^{ij-1}\langle a_{0},...a_{j},...~a_{i-1},{\hat {a_{i}}}... ~a_{k}\rangle =(-1)^{i}\langle a_{0},...~a_{j},...~{\hat {a_{i))},... ~a_{k}\rangle \end{mátrix}}

- a várakozásoknak megfelelően (visszatérve a régi helyre, át kell ültetni, illetve ugyanannyiszor kell megváltoztatni a jelet). ${\kalap {a_{i))}$ $ij-1$

Határozzuk meg a szimplex orientált határának operátorát a következőképpen:

\partial _{k}\langle a_{0},...~a_{k}\rangle =\sum (-1)^{i}\langle a_{0},...~{\hat {a_ {i}}},...~a_{k}\rangle

Ha a határ operátort vesszük, a méret 1-gyel csökken. 0-dimenziós szimplex (pontok) esetén figyelembe vesszük . Linearitás szerint kiterjesztjük az operátort bármely láncra. A határkezelő fő tulajdonsága a következő: $A$ $\partial{A}=0$ $\részleges$

\partial _{k-1}\partial _{k}=0

Egy szimplexre való alkalmazás az utóbbi két csúcsának eltávolítását eredményezi. Tegyük fel, hogy . $\partial _{k-1}\partial _{k}$ $\langle a_{0},a_{1},...~a_{k}\rangle$ $j<i$

A szimplex az operátor első műveletének eredményében szerepel a jellel , de az előjellel , mivel eltávolításkor a csúcs már nem a -edik helyen lesz, hanem a -edikben. Ezek az előjelek ellentétesek, ami azt jelenti, hogy bármely szimplex esetén nulla lesz, linearitás szerint pedig bármely lánc esetében. $\langle a_{0},...~{\hat {a_{j}}},...~{\hat {a_{i}}},...~a_{k}\rangle$ $(-1)^{i}\partial \langle {\hat {a_{i))}\rangle$ $(-1)^{i+j}$ $(-1)^{j}\partial \langle {\hat {a_{j))}\rangle$ $(-1)^{i+j-1}$ ${\kalap {a_{j))}$ ${\kalap {a_{i))}$ $én$ $(i-1)$ $\partial _{k-1}\partial _{k}$

Egyszerű homológia komplexeken és poliédereken

A poliéder poliéderek egyesülése.

A poliédereket egyszerűségekre bontva egyszerű komplexet kapunk.

Az egyszerű homológiát a komplexeken és a poliédereken a következőképpen vezetjük be:

Tekintsük a dimenzióláncok csoportját komplexünk egyszerűségeiből , amelyet jelöl . $k$ $K$ $C_{k}(K)$

Ciklusnak nevezzük azt a láncot , amelyen a határoperátor értéke nulla (más szóval ) ; jelöljük halmazukat . $c$ $\partial _{k}c=0$ $c\in \operátornév {Ker} \;\partial _{k}$ $Z_{k}(K)$

Ha valamelyik láncra érvényes (más szóval ), akkor a láncot határnak nevezzük ; a határok halmazát jelöli majd . $c'$ $c=\részleges _{k+1}c'$ $c\in \operátornév {Im} \;\partial _{k+1}$ $c$ $B_{k}(K)$

Mivel az operátor lineáris, a határok és a ciklusok is a lánccsoport alcsoportjait alkotják. Attól, hogy egyértelmű, hogy bármely határ egy körforgás, vagyis . $\részleges$ $\partial \partial =0$ $B_{k}\subseteq Z_{k}$

Két szálat homológnak mondunk , ha határban különböznek egymástól. Rögzítve van (azaz ). $x\sim y$ $x=y+\részleges z$

A faktorcsoportot a komplex k-dimenziós egyszerűsített homológiájának csoportjának nevezzük . $H_{k}=Z_{k}(K)/B_{k}(K)=\operátornév {Ker} \;\partial _{k}/\operatorname {Im} \;\partial _{k+1}$

Példa

Legyen egy egydimenziós komplexum, amely egy kétdimenziós szimplex (háromszög) határa . Keressük a homológiáját. $S_{1}$ $\langle a_{0},a_{1},a_{2}\rangle$

$B_{1}=0$ , mivel a komplexumban nincsenek kétdimenziós egyszerűségek. Ezért . Most nézzük meg, mikor lehet egy egydimenziós lánc ciklus. $H_{1}=Z_{1}/B_{1}=Z_{1}$

Vegyünk egy tetszőleges láncot . Nekünk van: $c=x\langle a_{0},a_{1}\rangle +y\langle a_{1},a_{2}\rangle +z\langle a_{2},a_{0}\rangle$

\partial c=(zx)\langle a_{0}\rangle +(xy)\langle a_{1}\rangle +(yz)\langle a_{2}\rangle =0

Szóval . Ezért minden egydimenziós ciklusnak van formája $zx=xy=yz=0;\quad x=y=z$ $c$

x(\langle a_{0},a_{1}\rangle +\langle a_{1},a_{2}\rangle +\langle a_{2},a_{0}\rangle )

azt jelenti , hogy egyszerűen létezik egy végtelen ciklikus csoport . $H_{1}=Z_{1}$ $\mathbb {Z}$

Keressük a nulldimenziós homológiát. Azóta . _ Az egyenlőségből az következik, hogy és határ szerint különböznek. Hasonlóképpen , és a határ szerint különböznek, ezért a határig bármely nulla dimenziós lánc alakja . Vagyis egyszerűen egy végtelen ciklikus csoport . Ha maga is határ, azaz , akkor megvan az , és ezért . $\partial _{0}=0$ $Z_{0}=C_{0}$ $\partial \langle a_{0},a_{1}\rangle =\langle a_{1}\rangle -\langle a_{0}\rangle$ $\langle a_{1}\rangle$ $\langle a_{0}\rangle$ $\langle a_{1}\rangle$ $\langle a_{2}\rangle$ $t\langle a_{0}\rangle$ $C_{0}$ $\mathbb {Z}$ $t\langle a_{0}\rangle =\partial c=(zx)\langle a_{0}\rangle +(xy)\langle a_{1}\rangle +(yz)\langle a_{2}\rangle$ $xy=yz=0;\quad x=y=z;\quad t=zx=0$ $B_{0}=0$ $H_{0}=C_{0}/B_{0}=\mathbb {Z}$

Tehát a kétdimenziós szimplex határára . $H_{0}=H_{1}=\mathbb {Z}$

A homológia néhány tulajdonsága

Ha egy komplex homológiáját definiáljuk, akkor az ennek a komplexnek megfelelő poliéder homológiájának is tekintendő . $K$ $|K|$

Bizonyítani kell azonban a homológiacsoportok függetlenségét a háromszögelés megválasztásától.

Bizonyítható, hogy a homomorfizmus megfelel a poliéderek folytonos leképezésének , és ez a megfelelés, ahogy mondani szokták, funkcionális , vagyis a folytonos leképezések összetétele megfelel a homológiacsoportok homomorfizmusainak összetételének , és az azonos leképezés megfelel azonos homomorfizmus . $f:|K|\to |L|$ $f_{*}:H_{k}(K)\–H_{k}(L)$ $(fg)_{*}=f_{*}g_{*}$ $(id)_{*}=id_{*}$

Ha a komplex véges számú egyszerűségből áll, akkor a homológiacsoportnak véges számú generátora lesz.

Ebben az esetben az egész számok csoportjának (a számuk, vagyis a homológiacsoport rangját Betti-számnak nevezzük ) és a véges ciklikus csoportok több példányának közvetlen összegeként ábrázoljuk, ahol mindegyik osztó (ezek a számok torziós együtthatóknak nevezzük ). A Betti-szám és a torziós együttható egyedileg meghatározott. $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z} _{a_{0}},\mathbb {Z} _{a_{1}},...~\mathbb {Z} _{a_{i}},...~\mathbb { Z} _{a_{k}}$ $a_{i}$ $a_{i-1}$

Kezdetben A. Poincaré csak a topológiai tulajdonságok jellemzésére vezette be őket.

E. Noether megmutatta a homológiacsoportok tanulmányozására való átmenet fontosságát.

Irodalom

Pontryagin L. S. A kombinatorikus topológia alapjai. - M .: Nauka, 1986
Steenrod N., Eilenberg S. Az algebrai topológia alapjai. - M. : Fizmatgiz, 1958
Fomenko A. T., Fuchs D. B. A homotópia topológia kurzusa. - M .: Nauka, 1989