Az egyenesek közötti távolság

Ez a cikk két párhuzamos egyenest vesz figyelembe a síkban. A nem ugyanabban a síkban lévő párhuzamos egyenesekkel kapcsolatban lásd: Egyenesek keresztezése#távolság .

Egy síkban lévő két egyenes közötti távolság az egyenes két pontja közötti legrövidebb távolság. Vagy egy másik párhuzamos egyenes vonalán fekvő pont között. Metsző egyenesek esetén a köztük lévő távolság nulla, mert a minimális távolság közöttük nulla (a metszéspontban); míg két párhuzamos egyenes esetén a merőleges - az egyik egyenesen lévő ponttól a másik egyenesig mért távolság.

Képletek és bizonyítások

Ha az egyenesek párhuzamosak, akkor a köztük lévő távolság állandó, így nem mindegy, hogy melyik pontot választjuk a távolság mérésére. Adott két függőleges párhuzamos egyenes egyenlete

y=mx+b_{1}\,

y=mx+b_{2}\,,

két párhuzamos egyenes távolsága az a távolság, amely ezeknek az egyeneseknek a két merőleges metszéspontja között van

y=-x/m\,.

Ezt a távolságot a lineáris egyenletrendszer megoldásával találhatjuk meg

{\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\,,\end{cases))

és

{\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\,,\end{cases))

hogy megkapjuk a metszéspontok koordinátáit. Határozza meg a metszéspont koordinátáit!

\left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1)),{\frac {b_ {1}}{m^{2}+1}}\jobbra)\,,

és

\left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1)),{\frac {b_ {2}}{m^{2}+1}}\jobbra)\,.

Pontok közötti távolság

d={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({ \frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\jobbra)^{2}}}\,,

amely csökkenthető mint

d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1))}\,.

Ha ismertek a derékszögű koordinátarendszerben lévő egyenesek egyenletei, akkor felírhatók:

ax+by+c_{1}=0\,

ax+by+c_{2}=0,\,

ahol a sorok közötti távolság úgy írható fel

d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2)))).

Lásd még