Rétegzett termék

A rosttermék ( rétegtermék , koamalgám , derékszögű négyzet , angol pullback ) egy kategóriaelméleti fogalom, amelyet két morfizmusból álló diagram határaként határoznak meg : A rostterméket gyakran úgy jelölik, mint $X\to Z\leftarrow Y.$ $X\times _{Z}Y.$

A kettős fogalom a codecartes square .

Általános tulajdonság

Legyen egy kategória egy morfizmuspárt és egy szálas szorzatot , és legyen egy objektum azokkal a morfizmusokkal együtt, amelyekre a következő diagram kommutatív: $C$ $f:X\to Z$ $g:Y\to Z.$ $x$ $Y$ $Z$ $P=X\times _{Z}Y$ $p_{1},p_{2},$

Ezenkívül a szálterméknek egy univerzális objektumnak kell lennie a következő tulajdonsággal: minden olyan objektum esetében, amelynek olyan morfizmuspárja van , amely a párt kommutatív négyzetté egészíti ki, létezik egy egyedi morfizmus , így az alábbi diagram kommutatív: $K,$ $q_{1}:Q\–X,\,q_{2}:Q\–Y,$ ${\megjelenítési stílus (f,g)}$ $u\colon Q\to P,$

Ennek a diagramnak a morfizmusok által alkotott belső négyzetét derékszögű (vagy kouniverzális) négyzetnek nevezzük egy morfizmuspár és ${\displaystyle f,g,p_{1},p_{2))$ $f$ $g.$

Az univerzális tulajdonsággal definiált többi objektumhoz hasonlóan a rosttermék sem feltétlenül létezik, de ha létezik, akkor az izomorfizmusig definiálva van.

Példák

A halmazok kategóriában a halmazok szálas terméke és leképezésekkel és a halmaz $x$ $Y$ $f:X\to Z$ $g:Y\to Z$

{\displaystyle X\times _{Z}Y=\{(x,y)\in X\times Y|f(x)=g(y)\))

a komponensek természetes vetületeivel együtt.

A kommutatív gyűrűk kategóriába tartozó rostterméket hasonló módon határozzák meg .

Ezenkívül a rosttermék két aszimmetrikus módon írható le: ${\mathbf {Set}}$

X\times _{Z}Y

\cong \coprod _{x\in X}g^{-1}[\{f(x)\}]

\cong \coprod _{y\in Y}f^{-1}[\{g(y)\}],

ahol a halmazok diszjunkt uniója . $\coprod$

Lásd még

Indukált köteg

Irodalom

Goldblatt R. Topoi. A logika kategorikus elemzése = Topoi. A logika kategoriális elemzése / Per. angolról. V. N. Grishin és V. V. Shokurov, szerk. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 p.
Gorodentsev A. L. Algebra matematikus hallgatóknak. II . rész . - M. , 2015. - S. 160.
McLane S. 3. fejezet. Univerzális konstrukciók és határértékek // Categories for the working mathematician = Categories for the working mathematician / Per. angolról. szerk. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Face K. Algebra - gyűrűk, modulok és kategóriák, 1. kötet. - M . : Mir - Springer-Verlag sorozat 190. kötete - Grundlehren der mathematischen wissenschaften - 1977 [1973].
Jiří Adámek, Horst Herrlich, George E. Strecker. Absztrakt és konkrét kategóriák. A macskák öröme . - Willey & Sons , 1990. - P. 524. - ISBN 0-471-60922-6 .