Egy racionális tört felbontása a legegyszerűbbekre

Egy racionális tört legegyszerűbbre bontása egy racionális tört reprezentációja polinom és a legegyszerűbb törtek összegeként. A legegyszerűbbekre bontást számos feladatban alkalmazzák, például integráláshoz [1] , Laurent sorozatban való bővítéshez [2] , racionális függvények inverz Laplace transzformációjának kiszámításához [3] .

Definíció

A racionális törtet akkor nevezzük a legegyszerűbbnek , ha a nevezője valamely irreducibilis polinom fokszáma, és a számlálójának foka kisebb, mint ennek az irreducibilis polinomnak a foka. [négy]

Egy tört alakban való ábrázolását , ahol polinom, a törtek pedig egyszerűek, a tört egyszerűre bontásának nevezzük . ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=G(x)+\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}(x)}{ Q_{i}(x)}}$ $G(x)$ ${\frac {P_{i}(x)}{Q_{i}(x)))$ ${\frac {P(x)}{Q(x)))$

Egy ilyen ábrázolás létezik egy mező bármely racionális törtére, és a kifejezések permutációjáig egyedi.

Lebontási módszerek

A teljes rész válogatása

Bármely mező feletti racionális tört egyedileg ábrázolható egy polinom (a tört egész részének) és egy megfelelő tört (úgynevezett törtrész) összegeként. [5] Viszont bármely megfelelő tört csak egyszerű törtek összegére bontható polinom tag nélkül. Így a tört legegyszerűbbre bontásának problémája két lépésben oldható meg: először bontsuk fel az egész és a tört részek összegére (ezt az eljárást hívják az egész rész kiválasztásának), és miért bontsuk fel a tört részt a legegyszerűbbek összege.

Az egész rész kiválasztása úgy történik, hogy a számlálóban lévő polinomot a nevezőben lévő polinomdal osztjuk egy oszlopba. Az így kapott hiányos hányados az egész rész, a maradék pedig osztva az osztalékkal a tört rész.

Az osztási algoritmus egy oszlopban minden iterációnál megkapja a maradék és a hányados új értékét. Kezdés előtt a maradék értékét az osztalékkal, a hányados értékét 0-val állítjuk be.

Ha a maradék foka kisebb, mint az osztó foka, akkor az algoritmus leáll.
Legyen a maradék tag a legmagasabb fokú, az osztó tag a legmagasabb fokú. Ezután hozzáadunk a hányadoshoz, kivonjuk a maradékból , és továbblépünk az 1. lépésre. [6] ${\displaystyle ax^{n))$ ${\displaystyle bx^{m))$ ${\frac {a}{b}}x^{nm}$ ${\frac {a}{b}}x^{nm}Q(x)$

Így a végén megkapjuk a hiányos hányadost és a maradékot . Ennek eredményeként , , ahol egy megfelelő tört egyszerű törtek összegévé bővül. A probléma a legegyszerűbb szabályos törtek összegére való kiterjesztésre redukálódott. $G(x)$ $R(x)$ ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=G(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)))$ ${\frac {P(x)}{Q(x)))$

Annak ellenére, hogy a megfelelő tört legegyszerűbbre bontásának legtöbb módszere alkalmazható egy nem megfelelőre is, ezek a módszerek sokkal bonyolultabbak, mint a polinomok oszlopra osztása. Az egész rész együtthatóinak előzetes megtalálása oszlopra osztással csökkenti azoknak az együtthatóknak a számát, amelyeket "komplex" módszerekkel kell majd keresni, ezáltal leegyszerűsödik a számítások.

A határozatlan együtthatók módszere

A határozatlan együtthatók módszere az, hogy a legegyszerűbb, ismeretlen együtthatójúra történő bővítést felírjuk, ezekre az együtthatókra egyenletrendszert állítunk össze és megoldjuk. Legyen megfelelő tört irreducibilis jelölésben, legyen a nevező irreducibilis tényezőkre való felosztása. Ekkor a legegyszerűbbre bontás alakja . Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát -vel . Megkapjuk a polinomok egyenlőségét . A polinomok akkor egyenlőek, ha együtthatóik azonos hatványokon egyenlők. Ha ezeket egyenlővé tesszük, egy lineáris algebrai egyenletrendszert kapunk egyenletekkel és ismeretlenekkel. Ezt megoldva megkapjuk a kívánt értékeket . [7] ${\frac {P(x)}{Q(x)))$ $Q(x)=(Q_{i_{1}}(x))^{m_{1}}...(Q_{i_{n}}(x))^{m_{n}}$ $Q(x)$ ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m_{i}}{\frac {A_{ij}}{(Q_{i}(x))^{j}}}$
$Q(x)$ $P(x)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m_{i}}A_{ij}(Q_{1}(x))^{ m_{1}}...(Q_{i-1}(x))^{m_{i-1}}(Q_{i}(x))^{m_{i}-j}(Q_{i +1}(x))^{m_{i+1}}...(Q_{n}(x))^{m_{n}}$
$A_{{ij}}$ $n$ $n$ $A_{{ij}}$

A kapott egyenletek gyakran meglehetősen nehézkesek. Ezért a gyakorlatban behelyettesítéssel próbálnak egyszerűbb egyenleteket szerezni. Ennek a technikának az általános sémája a következő: az egyenlőséget megszorozzuk valamilyen polinommal, majd x helyett valamilyen konkrét értéket cserélünk bele. Leggyakrabban szorozd meg és helyettesítsd be a gyökérrel. Így szinte minden tag eltűnik, és egy meglehetősen egyszerű egyenletet kapunk, amely lehetővé teszi az egyik együttható szinte azonnali kiszámítását. Ez a technika lehetővé teszi, hogy együtthatókat találjon a lineáris tényezők nagyobb hatványain. [8] Akár a fő mezőhöz nem tartozó gyökéröt is használhatja soron belüli gyökérként. Például a valós számok gyakran alkalmaznak komplex gyökhelyettesítést, majd egyenlőségjelet tesznek az egyenlet valós és képzetes részei között. Ugyanezt megteheti egy tetszőleges mezővel is. Ez az egyenlet azonban nem szükséges, a hiányzó egyenletek más módon is előállíthatók. Néha a végtelen helyettesítést is alkalmazzák: megszorozzák a bővítésben szereplő lineáris polinomok egyikével , és behelyettesítik a végtelent (itt a tört helyessége válik lényegessé). Ez a technika lehetővé teszi, hogy egyszerűen megtalálja az együtthatókat a lineáris tényezők első fokán. [9] Általánosságban elmondható, hogy az egyenlet transzformációja és az azt követő behelyettesítés bármi lehet, csak az a fontos, hogy ennek a helyettesítésnek legyen értelme, és ne változtassa a tagokat végtelenné. Például a nevező gyökének behelyettesítésekor először meg kell szorozni az egyenletet egy polinommal, amely kiküszöböli a 0-val való osztást, és a végtelen behelyettesítésekor úgy kell nézni, hogy sehol ne szerepeljen a -t tartalmazó egész tag . ${\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m_{i}}{\frac {A_{ij}}{(Q_{i}(x))^{j}}}$
$Q(x)$

$Q(x)$ ${\frac {P(x)}{Q(x)))$
$x$

A lineáris algebrai egyenletrendszer megoldása meglehetősen munkaigényes folyamat, ezért a gyakorlatban kevésbé univerzális, de egyszerűbb módszereket alkalmaznak.

Heaviside borítómódszere

A Heaviside-módszer az együtthatók közvetlen kiszámításából áll a következő képlet segítségével. Legyen egy lineáris tényező az irreducibilis tényezőkre való bontásban, és legyen ennek többszöröse. A legegyszerűbb tagokra való bontás a következő alakú kifejezéseket tartalmazza , ahol . Akkor $Q(x)$ $xa$ $m$ ${\frac {B_{j}}{(xa)^{j}}}$ $1\leq j\leq m$

$B_{m}={\frac {P(x)(xa)^{m}}{Q(x)}}{\Bigr |}_{x=a}$ a Heaviside-képlet [10]

A Heaviside képlet lehetővé teszi, hogy minden nehézség nélkül azonnal megkapja az együtthatók nagy részét, ezért a gyakorlatban nagyon széles körben használják. Ha egy tört nevezőjét lineáris tényezőkre bontjuk, a Heaviside-módszerrel a teljes kiterjesztést egyszerre megkaphatjuk. Ha nem, akkor a fennmaradó együtthatók kiszámításához más módszerek, például a meghatározatlan együtthatók módszerének alkalmazása szükséges.

Lagrange-módszer

A Lagrange-módszer egy másik képletet kínál az együtthatók kiszámítására. Legyen az 1 multiplicitás nevezőjének gyöke. Ekkor az együttható at egyenlő $a$ $A$ ${\frac {1}{xa))$

$A={\frac {P(x)}{Q'(x)}}{\Bigr |}_{x=a}$ a Lagrange-képlet. [tizenegy]

A Heaviside-módszerhez hasonlóan a Lagrange-módszer is lehetővé teszi, hogy azonnal megtaláljuk a legegyszerűbbre bontást, ha a nevezőt lineáris tényezőkre bontjuk.

Lagrange-képlet általánosítása

A Lagrange-képlet általánosítható a multiplicitásgyökre : $m$

${\displaystyle A_{m}=m!{\frac {P(x)}{Q^{(m)}(x))){\Bigr |}_{x=a))$ , ahol az együttható a . [12] $A_{m}$ ${\displaystyle {\frac {1}{(xa)^{m))))$

Így minden együttható, amely ezzel a képlettel megtalálható, megtalálható a Heaviside-formulával, és fordítva.

Ismételt szorzók kivonása

A fennmaradó együtthatók megtalálásának egyik módja a határozatlan együtthatók módszere nélkül az ismétlődő tényezők kivétele. [13] Tekintsük egy példával.

Bővítsük a törtet . Vegyük ki az ismétlődő tényezőket. . A megfelelő tényező csak lineáris tényezőkből áll, ami azt jelenti, hogy Heaviside vagy Lagrange módszerrel bővíthető. Bontsuk le. . Bővítsük ki a zárójeleket. . A megfelelő tört egyszerű törtre bontását már ismerjük. a kívánt bomlás. ${\frac {1}{(s+1)^{2}(s+2)))$
${\frac {1}{s+1}}\left({\frac {1}{(s+1)(s+2)))\right)$
${\frac {1}{s+1}}\left({\frac {1}{s+1}}-{\frac {1}{s+2}}\right)$
${\frac {1}{(s+1)^{2}}}-{\frac {1}{(s+1)(s+2)))$
${\frac {1}{(s+1)^{2}}}-{\frac {1}{s+1}}+{\frac {1}{s+2}}$

Rekurzív metódus

A módszer az, hogy a Heaviside-módszerrel (vagy az általánosított Lagrange-el) megkeressük a legmagasabb fokozatú összes legmagasabb egyszerű tagot, majd kivonjuk az eredeti törtből, és megismételjük ezt az eljárást a kapott törtre. [tizennégy]

Bővítsük a törtet . Keressük a legmagasabb egyszerű kifejezéseket: . Vonja ki őket az eredeti törtből. . A kapott tört a megmaradt egyszerű törtek összege, ami azt jelenti, hogy ezek a maradék törtek nem mások, mint a kapott tört egyszerű törtekre való felbontása. Ismét megtaláljuk a legmagasabb egyszerű kifejezéseket. . Kivonás. . Az eredmény egy megfelelő tört, ami azt jelenti, hogy a bővítés összes feltétele megtalálható. . ${\displaystyle {\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)^{3))))$
$-{\frac {1}{(x-1)^{2}}},{\frac {1}{(x-2)^{3}}}$
${\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)^{3}}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}- {\frac {1}{(x-2)^{3}}}={\frac {x-4}{(x-2)^{2}(x-1)))$
$-{\frac {2}{(x-2)^{2}}},-{\frac {3}{x-1}}$
${\frac {x-4}{(x-2)^{2}(x-1)}}+{\frac {2}{(x-2)^{2}}}+{\ frac {3}{x-1}}={\frac {3}{x-2}}$
${\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)^{3}}}={\frac {1}{(x-2)^{3}}}- {\frac {1}{(x-1)^{2}}}-{\frac {2}{(x-2)^{2}}}-{\frac {3}{x-1}} +{\frac {3}{x-2}}$

Ennek a módszernek a legnagyobb nehézsége a törtek kivonása és az azt követő redukció. A lépés egyszerűsítéséhez hajtsa végre a következő trükköt.

Találjuk meg . A tört nevezőjét már ismerjük: elosztjuk a szorzattal (a multiplicitás figyelembe vétele nélkül). Ezért a feladat az, hogy megtaláljuk . Ehhez a teljes egyenletet megszorozzuk -vel . Azt kapjuk, ami egyenlő a törtek összegével. De mivel a megfelelő törtek összege ismét megfelelő tört, ezeknek a törtrészeknek az összege 0 lesz, és maga a polinom egyenlő lesz az egész számok összegével. Elegendő tehát e törtek felosztásának csak a hiányos hányadosát megkeresni, a maradékot figyelmen kívül hagyni. Ezzel a módosítással ezt a módszert a maradékok eldobásának módszerének nevezik . [tizenöt] ${\frac {R(x)}{D(x)}}={\frac {P(x)}{Q(x)))-\sum _{i=1}^{n}{ \frac {A_{i}}{(x-x_{i})_{i}^{m}}}$
$D(x)$ $Q(x)$ ${\megjelenítési stílus (x-x_{i})}$ $R(x)$ $D(x)$ $R(x)$

Vegyünk egy példát fentről. . Szorozzuk meg -vel . Az első kifejezés helyes, ezért el lehet vetni. A második tag egész részét tekintjük. Osszuk el -vel egy oszlopra. kapunk . Hasonlóképpen, az utolsó tag egész része −1. Összeadjuk őket, és megkapjuk a kívánt - polinomot .
${\displaystyle {\frac {1}{(x-1)^{2}(x-2)^{3}}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}}}- {\frac {1}{(x-2)^{3))))$ $D(x)$
${\frac {1}{(x-1)(x-2)}}+{\frac {(x-2)^{2}}{x-1}}-{\frac {x- 1}{x-2}}$ $(x-2)^{2}$ $x-1$ $x-3$ $x-4$

Egyszerű átalakítások

Néha a legegyszerűbbre bontás egyszerűen a kifejezések átalakításával érhető el. [16]

{\frac {x^{2}-1}{x(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {x^{2}-(x^{2}+ 1)+x^{2}}{x(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}- {\frac {1}{x(x^{2}+1)}}={\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}-{\frac {(x^ {2}+1)-x^{2}}{x(x^{2}+1)}}={\frac {2x}{(x^{2}+1)^{2}}}- {\frac {1}{x}}+{\frac {x}{x^{2}+1}}

A levonások módja

A Heaviside-képlet tetszőleges együtthatóra általánosítható.

Legyen egy lineáris tényező az irreducibilis tényezőkre való bontásban, és legyen ennek többszöröse. A legegyszerűbb tagokra való bontás a következő alakú kifejezéseket tartalmazza , ahol . Akkor: $Q(x)$ $xa$ $m$ ${\displaystyle {\frac {B_{k}}{(xa)^{k))))$ $1\leq k\leq m$

$B_{k}={\frac {1}{(mk)!}}\left({\frac {P(x)(xa)^{m}}{Q(x)))\right) ^{(mk)}{\Bigr |}_{x=a}$ [12]

Nagy multiplicitású szorzók esetén ez a képlet megköveteli a nagy rendű racionális tört deriváltjának kiszámítását, ami meglehetősen időigényes művelet.

Magasabb fokú polinomok együtthatói

Ha a legegyszerűbb tört nevezője az első foknál magasabb irreducibilis polinomot tartalmaz, akkor a számlálójának megtalálásához a felsorolt módszerek közül csak a határozatlan együtthatók módszere használható. Ez a probléma azonban elkerülhető, ha a mező algebrai lezárásában (pontosabban bármely, a nevező dekompozíciós mezőt tartalmazó kiterjesztésében ) megtaláljuk az elemi dekompozíciót, majd hozzáadunk konjugált nevezőkkel rendelkező tagokat. Ezt a módszert nagyon gyakran használják a legegyszerűbbre való bontás megtalálására a valós számok területén. [17]

Vegyünk egy példát. Keressünk egy dekompozíciót . Térjünk át a komplex számok területére, és bontsuk ki a nevezőt lineáris tényezőkre. . Használjuk a Heaviside módszert. . Most add hozzá a konjugált nevezőkkel rendelkező törteket. a kívánt bomlás.
${\frac {1}{(x^{2}+1)(x+1)))$
${\frac {1}{(x+i)(xi)(x+1)}}$
${\frac {\displaystyle {\frac {1}{2}}}{x+1}}+{\frac {\displaystyle {\frac {1}{2i(i+1)))}{ xi}}-{\frac {\displaystyle {\frac {1}{2i(-i+1)}}}{x+i}}$
${\frac {\displaystyle {\frac {1}{2}}}{x+1}}+{\frac {\displaystyle {\frac {1}{2}}(1-x)}{ x^{2}+1}}$

Módszerek kombinációi

A fenti módszerek lehetőséget adnak az egyes együtthatók kiszámítására, de nem igénylik a többit ezzel a módszerrel. Így ezeket a módszereket tetszés szerint kombinálhatja: az egyik együtthatót Heaviside módszerrel, a másikat a Lagrange módszerrel, a többit pedig a meghatározatlan együtthatók módszerével számíthatja ki, ami már sokkal egyszerűbb lesz, mintha az összes együttható ismeretlen lenne. . A megfelelő módszerek alkalmazása a szükséges esetekben lehetővé teszi a dekompozíció egyszerű és hatékony megtalálását.

Változatok és általánosítások

Az euklideszi gyűrűben

A legegyszerűbb tört fogalma kézenfekvő módon általánosítható az euklideszi gyűrű törtmezőjére . Egy törtet akkor nevezünk megfelelő törtnek, ha számlálójának euklideszi normája kisebb, mint nevezőjének euklideszi normája. Akkor nevezzük a legegyszerűbbnek a megfelelő törtet, ha a nevezője valamilyen mértékben irreducibilis elemet tartalmaz. Ekkor egy tört legegyszerűbbre bontását úgy definiáljuk, mint az euklideszi gyűrű valamely elemének és a legegyszerűbb törteknek az összege formájában.

Az euklideszi gyűrű töredékeinek mezőjéből származó bármely töredék esetén a legegyszerűbbekre bomlik, de egyetlen euklideszi gyűrű esetében sem mindig egyedi lesz. [18] Például egész számok felett a törtek többféle kiterjesztéssel rendelkezhetnek: (itt az euklideszi norma egy egész szám modulusa, a legegyszerűbb tört, tehát önmagának egyszerű kiterjesztése, de ugyanakkor képes még egy bővítést szerezni). ${\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}$ ${\frac {1}{4))$

A legegyszerűbb dekompozíció egy euklideszi gyűrű hányadosai mezőjének minden elemére akkor és csak akkor egyedi, ha ez a gyűrű vagy mező, vagy izomorf egy mező feletti polinomgyűrűhöz (sőt, az euklideszi norma egyenértékű az euklideszi gyűrű mértékével). polinom). [19] .

Egész számokban

Egész számok esetében a faktorizáció alternatív definíciója is megfontolható. Megköveteljük, hogy a legegyszerűbb kifejezések pozitívak legyenek. Ezután bármely racionális szám esetében egyedi faktorizálás történik a legegyszerűbbekké. [húsz]

Például ez az egyetlen lebontás a legegyszerűbb kifejezésekre pozitív legegyszerűbb kifejezésekkel. Ha a negatív elemi tagok megengedettek, akkor, mint fentebb már látható volt, a bővítés többé nem lesz egyedi. ${\frac {77}{12}}=5+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {2}{3}}$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Zorich, 2019 , p. 292.
↑ Krasznov, 1971 , p. 51.
↑ Krasznov, 1971 , p. 125.
↑ Faddeev, 1984 , p. 187.
↑ Faddeev, 1984 , p. 184.
↑ Faddeev, 1984 , p. 168.
↑ Brazier, 2007 , p. 2.
↑ Gustafson, 2008 , p. 2.
↑ Gustafson, 2008 , p. 5.
↑ Gustafson, 2008 , p. 3.
↑ Hazra, 2016 , p. 28.
↑ 12. Bauldry , 2018 , p. 429.
↑ Gustafson, 2008 , p. négy.
↑ Ember, 2009 , p. 809.
↑ Brazier, 2007 , p. 809.
↑ Kudrjavcev, 2003 , p. 502.
↑ Bauldry, 2018 , p. 430.
↑ Bradley, 2012 , p. 1526.
↑ Bradley, 2012 , p. 1527.
↑ Bradley, 2012 , p. 1528.

Irodalom

Zorich V. A. Matematikai elemzés. 1. rész . - 10. kiadás — M. : MTsNMO, 2019. — 564 p. (Orosz)
Krasznov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Egy komplex változó függvényei. műveleti kalkulus. A stabilitás elmélete . - M . : Nauka, 1971. - 256 p. (Orosz)
Faddeev DK Előadások az algebráról . - M . : Nauka, 1984. - 416 p. (Orosz)
Bauldry WC Partial Fractions via Calculus // Daniel Alpay problémák , források és kérdések a matematikai egyetemi tanulmányokban: Journal. - 2018. - május 9. ( 28. évf. , 5. szám ). — P. 425–437 . — ISSN 1051-1970 . - doi : 10.1080/10511970.2017.1388312 .
Gustafson GB Heviside módszere (eng.) (pdf). Grant B. Gustafson itt: math.utah.edu (2008). Letöltve: 2021. július 1.
Brazier RA, Boman EC Hogyan számítsuk ki a részleges frakcióbontást anélkül, hogy valóban megpróbálnánk // AMATYC Review: Journal. - 2007. - Vol. 21 , sz. 1 . — P. 20–29 . — ISSN 0740-8404 .
Hazra M. Részleges frakciók lebontása Lagrange-módszerrel // Research Journal Of Pure Science : folyóirat. - 2016. - Kt. 5 , sz. 2 . — P. 27–32 . — ISSN 2348-5361 .
Yiu-Kwong ember. Egy továbbfejlesztett Heaviside-megközelítés a részleges frakcióbővítéshez és alkalmazásai // International Journal of MathematicalEducation in Science and Technology : folyóirat. - 2009. - augusztus 4. ( 40. kötet , 6. szám ). — P. 808–814 . - doi : 10.1080/00207390902825310 .
Bradley WT, Cook WJ Két bizonyíték a részleges frakcióbontás létezésére és egyediségére (angol) // International Mathematical Forum : Journal. - 2012. - Kt. 7 , sz. 31 . — P. 1517–1535 .
Kudrjavcev L. D. Matematikai elemzés tanfolyam. 3 kötetben. 1. kötet. Több változós függvények differenciál- és integrálszámítása . - M . : Túzok, 2003. - 704 p. (Orosz)