Fréchet származék

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2013. augusztus 21-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

A Fréchet-származék (erős derivált) a derivált fogalmának a végtelen dimenziós Banach-terekre történő általánosítása . A nevet Maurice Fréchet francia matematikus tiszteletére adták .

Definíció

Legyen egy operátor, aki valódi Banach-térből egy valódi Banach-térbe lép . $F\colon X\rightarrow Y$ $x$ $Y$

Az operátor Fréchet -származéka egy pontban egy korlátos lineáris operátor , amelyre a következő egyenlőség érvényes: $F$ $x\X-ben$ $A\colon X\rightarrow Y$ $h\in X$

$F(x+h)-F(x)=Ah+r_{0}(x,\;h),$

és az összefüggés igaz a maradék tagra : $r_{0}(x,\;h)$

${\frac {\|r_{0}(x,\;h)\|_{Y}}{\|h\|_{X}}}\jobbra 0$ nál nél $\|h\|_{X}\rightarrow 0.$

Ha létezik a Fréchet-származék, akkor az operátort erősen differenciálhatónak mondjuk . A növekmény lineáris részét ebben az esetben a függvény Fréchet-differenciáljának nevezzük . $F$ $Ah$ $F$

Kimutatható, hogy a Fréchet-származék, ha létezik, megegyezik a Gateaux-származékkal .

Tulajdonságok

Legyenek normált terek leképezései. Ekkor a Fréchet-származék kielégíti: $f,g:G\rightarrow Y$

$(f+g)'(\varphi )=f'(\varphi )+g'(\varphi )$
$(\lambda f)'(\varphi )=\lambda f'(\varphi )$ , ahol λ valamilyen skalár abból a mezőből, amely felett a normált terek vannak meghatározva.
$(f\circ g)'(\varphi )=(f'\circ g)(\varphi )\,g'(\varphi )$ .

Lásd még

Irodalom

Kolmogorov A.N., Fomin S.V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. — M.: FIZMATLIT, 2006. — 572 p. — ISBN 5-9221-0266-4 .
Alekseev V.M., Tikhomirov V.M., Fomin S.V. Optimális vezérlés – Bármilyen kiadás.