Projektív modul

A projektív modul a homológiai algebra egyik alapfogalma . Kategóriaelméleti szempontból a projektív modulok a projektív objektumok speciális esetei .

Definíció

A gyűrű feletti modult (amelyet általában egy identitáselemhez asszociatívnak tekintünk) projektívnek nevezünk, ha minden homomorfizmusra és epimorfizmusra létezik olyan homomorfizmus , amely , azaz az adott diagram kommutatív: $P$ $A$ $g\colon P\to M$ $f\colon N\ to M$ $h\colon P\to N$ $g=fh$

A projektív modul legegyszerűbb példája egy ingyenes modul . Valóban, legyen elemei a modul és . Mivel ez epimorfizmus, előfordulhat, hogy . Ezután úgy határozható meg, hogy értékeit a bázisvektorokra állítja be . $F$ $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i},\ldots$ $F$ $g(x_{i})=y_{i}$ $f$ $z_{i}$ $f(z_{i})=y_{i}$ $h$ ${\displaystyle h(x_{i})=z_{i))$

Egy mezőben több változóban lévő polinomiális gyűrűk esetén bármely projektív modul szabad.

Általában nem ez a helyzet, bár könnyű bizonyítani azt a tételt, hogy egy modul akkor és csak akkor projektív, ha létezik olyan modul , amelynél a közvetlen összeg szabad. Valójában, ha a közvetlen összegnek van egy összetevője , amely egy szabad modul, és egy homomorfizmus, akkor az is homomorfizmus ( a közvetlen összeg vetülete az első összegzőre ), és mivel tudjuk, hogy a szabad modulok projektívek, létezik olyan homomorfizmus , hogy tehát hol van a zárványhomomorfizmus , tehát $P$ $K$ $F=P\oplus K$ $P$ $F$ $g\colon P\to M$ $gp_{1}\colon F\to M$ $p_{1}$ $F$ $P$ $h_{1}\colon F\to N$ ${\displaystyle gp_{1}=fh_{1))$ $gp_{1}i_{1}=fh_{1}i_{1}$ $i_1$ $P\to F$

g=fh_{1}i_{1}\colon P\to M

Fordítva, legyen projektív modul. Minden modul egy szabad modul homomorf képe. Legyen a megfelelő epimorfizmus. Ekkor az azonos izomorfizmus egyenlő lesz néhány esetén, mivel projektív. Bármely elem így ábrázolható $P$ $g\colon F\to P$ $id\colon P\to P$ $id=gh$ $h\colon P\to F$ $P$ $F$

x=hg(x)+(x-hg(x))\in \mathrm {Im} \,h\oplus \mathrm {Ker} \,g

hol az izomorf . $\mathrm {Im} \,h$ $P$

Tulajdonságok

$P$ akkor és csak akkor projektív, ha bármely epimorfizmus esetében az indukált homomorfizmus epimorfizmus. $f\colon N\ to M$ $f_{*}\colon {\text{Hom}}(P,N)\to {\text{Hom}}(P,M)$
$P$ akkor és csak akkor projektív, ha bármilyen rövid, pontos sorozatot leképez a pontos sorozatra . $0\–A\–B\–C\–0$ $0\to {\text{Hom}}(P,A)\to {\text{Hom}}(P,B)\to {\text{Hom}}(P,C)\to 0$
A modulok közvetlen összege akkor és csak akkor projektív, ha minden tag projektív.

Lásd még

Irodalom

Kartan A., Eilenberg S. Homológiai algebra. — M. : IL, 1960
McLane S. Homológia. - M . : Mir, 1966 ..