Gimlet szabály

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. december 28-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 30 szerkesztést igényelnek .

Gimlet - szabály ( csavarszabály ) - a vektorszorzat irányának meghatározására és a háromdimenziós térben a megfelelő bázis [a] szorosan összefüggő megválasztására szolgáló mnemonikus szabály számos változatának bármelyike , megegyezés a  vektor pozitív orientációjában. bázist, és ennek megfelelően bármely axiális vektor előjelét, amelyet a bázis orientációja határoz meg.

Általános szabály, hogy az axiális vektor két lehetséges iránya közül az egyiket pusztán önkényesnek tekintjük; csak mindig ugyanúgy kell történnie, hogy a számítások végeredményében ne keveredjen össze a jel. Erre szolgálnak a cikkben leírt szabályok: lehetővé teszik, hogy mindig ugyanazt a döntést választhasd.

A szabály alkalmazása

A jobbkéz szabály neve alatt több, egymástól meglehetősen eltérő szabály létezik (köztük a "balkéz szabály" számos változata). A gyakorlatban arra szorítkozhatunk, hogy e szabályok (vagy hasonlók) teljes halmazából válasszunk egy univerzális típusba tartozó különböző megfogalmazásban: vektorszorzat előjelét vagy bázis orientációját.

Ezt a választást a minimálisan szükségesnek tekintik : a „keret szabályának” legalább egy változata nélkül nemcsak lehetetlen követni az általánosan elfogadott konvenciókat, hanem rendkívül nehéz a következetességet fenntartani még a munkaszámítások során is. Ugyanakkor a szabály egy változata is elegendő: a cikkben említett összes szabály helyett [b] , csak egyet használhat, ha csak a vektorszorzatokat tartalmazó képletekben ismeri a tényezők sorrendjét.

Ez a szabály különösen a fizikában olyan fontos axiális vektorok irányának [c] meghatározására vonatkozik, mint a test forgási sebességét jellemző szögsebesség -vektor, a B mágneses indukciós vektor és még sok más, valamint a tengelyirányú vektor irányának meghatározására. ilyen vektorok, amelyeket axiálisan határoznak meg , például egy adott mágneses indukcióvektor indukciós áramának iránya alapján.

Sok ilyen esetre az általános megfogalmazáson kívül, amely lehetővé teszi a vektorszorzat irányának vagy általában az alap orientációjának meghatározását, léteznek a szabály speciális megfogalmazásai is, sokkal kevésbé általánosak, de jól alkalmazkodnak az adott helyzethez. helyzet.

Általános (fő) szabály

A fő szabály, amely mind a karmantyús (csavaros) szabály variánsában, mind a jobbkéz szabály változatában használható, a bázisok és a vektorszorzat (vagy akár a kettő közül az egyik, mivel az egyik) irányválasztási szabály. közvetlenül a másikon keresztül határozza meg). Ez a fő, mert elegendő minden esetben használni az összes többi szabály helyett, ha csak valaki ismeri a megfelelő képletekben szereplő tényezők sorrendjét.

A vektorszorzat pozitív irányának meghatározására és a háromdimenziós térben a pozitív bázisra (koordinátarendszerre) vonatkozó szabály kiválasztása szorosan összefügg.

Mindkét szabály tisztán önkényes, de szokás (legalábbis, ha kifejezetten másképp nem jelezzük) azt feltételezni, és ez egy általánosan elfogadott konvenció, hogy a helyes bázis pozitív , és a vektorszorzat úgy van definiálva, hogy egy pozitív ortonormális. alapja (a téglalap alakú derékszögű, minden tengelyen egységnyi léptékű koordináták alapja, amely minden tengelyen egységvektorokból áll) [d] a következők:

ahol a ferde kereszt a vektorszorzás műveletét jelöli.

Alapértelmezés szerint elterjedt a pozitív (és így helyes) alapok használata. A bal oldali alapokat főleg akkor szokás használni, ha a jobb oldali használata nagyon kényelmetlen vagy egyáltalán nem lehetséges (például ha a jobb oldalunk tükröződik a tükörben, akkor a tükrözés bal oldali alap, és ez ellen nem lehet mit tenni) .

Ezért a keresztszorzat szabálya és a pozitív bázis kiválasztásának (megépítésének) szabálya kölcsönösen konzisztens.

Ezeket így lehet megfogalmazni:

Egy vektoros termékhez

Gimlet (csavar) szabály egy vektorszorzathoz : „Ha úgy rajzolod meg a vektorokat, hogy a kezdetük egybeessen, és az első faktorvektort a legrövidebb úton forgatod a második faktorvektorhoz, akkor az ugyanilyen módon forgó karmantyú (csavar) elcsavarodik. a vektor-művek irányába".

Az óramutató járásával megegyező irányú vektoros szorzatra vonatkozó karimlet (csavar) szabály egy változata : „Ha a vektorokat úgy rajzoljuk meg, hogy a kezdetük egybeessen, és az első szorzóvektort a legrövidebb úton elforgatjuk a második szorzóvektorhoz, és a másik oldalról nézzük, akkor hogy ez a forgás nekünk az óramutató járásával megegyező irányú, akkor a vektor-szorzat tőlünk el lesz irányítva (csavarjuk mélyen az órába).

Jobb kéz szabály a keresztszorzathoz (első lehetőség) : "Ha úgy rajzolja meg a vektorokat, hogy a kezdetük egybeessen, és az első szorzóvektort a legrövidebb úton forgatja a második szorzóvektorhoz, és a jobb kéz négy ujja mutatja a forgásirányt (mintha egy forgó hengert takarna) , akkor a kiálló hüvelykujj megmutatja a szorzatvektor irányát.

Jobb kéz szabály vektorszorzathoz (második lehetőség) : „Ha úgy rajzolja meg a vektorokat, hogy a kezdetük egybeessen, és a jobb kéz első (hüvelykujjával) az első faktorvektorra, a második (index) a második faktorra mutat. vektor, akkor a harmadik (középső) mutatja (hozzávetőlegesen) a vektor-szorzat irányát” (lásd az ábrát).

Az elektrodinamikát tekintve az áram (I) a hüvelykujj mentén, a mágneses indukciós vektor (B) a mutatóujj mentén, az erő (F) pedig a középső ujj mentén irányul. Mnemonikusan a szabály könnyen megjegyezhető az FBI (force, induction, current vagy Federal Bureau of Investigation (FBI) angolból fordítva) rövidítése és az ujjak helyzete alapján, amely fegyverre emlékeztet.

Alapokhoz

Mindezek a szabályok természetesen átírhatók, hogy meghatározzuk az alapok tájolását. Ezek közül csak kettőt írjunk át:

A bázis jobbkéz szabálya : „Ha a bázisban (amely az x, y, z tengelyek mentén lévő vektorokból áll ), a jobb kéz első (hüvelykujja) az első bázisvektor (vagyis az x mentén) irányul. tengely ), a második (index) a második (azaz az y ), a harmadik (közép) pedig a harmadik irányába (körülbelül) ( z mentén) lesz irányítva , akkor ez a megfelelő alap (mint az az ábrán is kiderült).

Gimlet (csavar) szabály a bázishoz : „Ha úgy forgatja a kardánt és a vektorokat, hogy az első bázisvektor a lehető legrövidebb módon a második felé hajljon, akkor a kardán (csavar) a harmadik bázisvektor irányába csavarodik, ha ez a megfelelő alap.”

Mindez természetesen a síkon a koordináták irányának megválasztására vonatkozó szokásos szabály kiterjesztésének felel meg (x jobbra, y felfelé, z rajtunk van). Ez utóbbi egy másik mnemonikus szabály lehet, amely helyettesítheti az általunk definiálni kívánt gimlet, jobb kéz stb. szabályát, és bármilyen módon bővíthető).

A karmantyú (csavar) szabály vagy a jobbkéz szabály kijelentései speciális esetekre

Fentebb már említettük, hogy a karmantyú (csavar) szabály vagy a jobbkéz szabály (és más hasonló szabályok) összes változata, beleértve az alábbiakban említetteket, nem szükséges. Nem szükséges ezeket ismerni, ha ismeri (legalább az egyik lehetőségnél) a fent leírt általános szabályt, és ismeri a faktorok sorrendjét a vektorszorzatot tartalmazó képletekben.

Az alább leírt szabályok közül azonban sok jól alkalmazkodik az alkalmazásuk speciális eseteihez, ezért ezekben az esetekben meglehetősen kényelmes és könnyű a vektorok irányának gyors meghatározása [f] .

A jobb kéz vagy karmantyú (csavar) szabálya a mechanikus fordulatszámú elforgatáshoz

Jobb kéz vagy karmantyú (csavar) szabály a szögsebességhez

Ismeretes, hogy egy adott pont sebességvektora a szögsebesség - vektorhoz és a fix pontból egy adott pontba húzott vektorhoz, keresztszorzataként kapcsolódik:

Nyilvánvaló tehát, hogy a fentebb a keresztszorzatra leírt csavarszabály és jobbkéz szabály alkalmazható a szögsebességvektor irányának meghatározására. Ebben az esetben azonban a szabályokat még egyszerűbben és emlékezetesebben lehet megfogalmazni, hiszen egy nagyon is valós forgásról beszélünk:

Gimlet (csavar) szabály: "Ha a csavart (a karmantyút) abba az irányba forgatja, amelybe a test forog, akkor abban az irányban fog csavarni (vagy kicsavarni), amerre a szögsebesség irányul."

Jobb kéz szabály: "Ha azt képzeljük, hogy a testet a jobb kezünkbe vettük és abba az irányba forgatjuk, amerre négy ujj mutat, akkor a kiálló hüvelykujj abba az irányba mutat, amerre a szögsebesség irányul ilyen forgás közben."

A jobb kéz vagy karmantyú (csavar) szabálya a szögimpulzusra

A szögimpulzus irányának meghatározására vonatkozó szabályok teljesen hasonlóak , ami nem meglepő, hiszen a szögimpulzus arányos a szögsebességgel pozitív együtthatóval [ g] .

A jobb kéz vagy karmantyú (csavar) szabálya az erőnyomatékra

Az erők nyomatékára (nyomaték)

a szabályok is általában hasonlóak, de mi kifejezetten megfogalmazzuk őket.

Gimlet (csavar) szabály: „Ha a csavart (karonnyal) abba az irányba forgatja, amerre az erők hajlamosak a testet elfordítani, a csavar abba az irányba csavarodik (vagy kicsavarodik), amerre ezen erők nyomatéka irányul.”

Jobb kéz szabálya: „Ha azt képzeljük, hogy a testet a jobb kezünkbe vettük, és abba az irányba próbáljuk elfordítani, amerre négy ujj mutat (a testet elfordítani próbáló erők ezen ujjak irányába irányulnak), akkor a kiálló hüvelykujj abba az irányba mutat, ahová a forgatónyomatékot (ennek nyomatékát) irányítják.

A jobb kéz és a csavar (csavar) szabálya a magnetosztatikában és az elektrodinamikában

Mágneses indukcióhoz ( Biot-Savart törvény )

Gimlet (csavar) szabály: "Ha a karmantyú ( csavar ) transzlációs mozgásának iránya egybeesik a vezetőben lévő áram irányával, akkor a kardán fogantyújának forgásiránya egybeesik a mágneses indukciós vektor irányával. az áram által létrehozott mező."

Jobb kéz szabály: „Ha a jobb kezével megragadja a vezetőt úgy, hogy a kiálló hüvelykujj az áram irányát jelzi, akkor a fennmaradó ujjak a létrehozott mező mágneses indukciós vonalai vezető burkolóinak irányát mutatják. ezzel az árammal, és így a mágneses indukció vektorának irányával , amely mindenhol érintőlegesen irányul ezekre a vonalakra."

A mágnesszelephez

Jobb kéz szabály: "Ha a jobb tenyerével megfogja a mágnesszelepet úgy, hogy a kanyarokban négy ujja az áram mentén irányuljon, akkor a félretett hüvelykujj megmutatja a mágneses erővonalak irányát a szolenoid belsejében."

Mágneses térben mozgó vezetőben lévő áramhoz

A jobb kéz szabálya: "Ha a jobb kéz tenyere úgy van elhelyezve, hogy magában foglalja a mágneses mező erővonalait, és a hajlított hüvelykujj a vezető mozgása mentén irányul, akkor négy kinyújtott ujj jelzi a az indukciós áram iránya."

A Maxwell-egyenletekhez

Mivel a két Maxwell-egyenletben használt rotorművelet (jellel rot ) formálisan vektorszorzatként írható fel (a nabla operátorral ), és ami a legfontosabb, mert egy vektormező görbülete hasonlítható (analógia) a szöghöz. olyan folyadék forgási sebessége [h] , amelynek áramlási sebességmezeje egy adott vektormezőt reprezentál, a rotorra a szabály azon megfogalmazásait használhatjuk, amelyeket a szögsebességre már fentebb leírtunk.

Így, ha a kardánt az örvényvektormező irányába forgatja, akkor ennek a mezőnek a rotorvektorának irányába fog csavarni. Vagy: ha jobb kezed ökölbe szorított négy ujját az örvénylés irányába mutatod, akkor a behajlított hüvelykujj a forgórész irányát mutatja.

Ebből kövesse az elektromágneses indukció törvényének szabályait , például: „Ha a jobb kéz behajlított hüvelykujjával rámutat az áramkörön áthaladó mágneses fluxus irányára, ha nő, és az ellenkező irányba, ha csökken, akkor az áramkört fedő hajlított ujjak az ellenkező irányt mutatják (a képlet mínuszjeléhez -tól) az EMF irányával ebben az áramkörben, amelyet a változó mágneses fluxus indukál.

Az Ampère-Maxwell törvény szabályai általában egybeesnek az áram által létrehozott mágneses indukció vektorára vonatkozó szabályokkal, csak ebben az esetben kell hozzáadni az áramkörön átmenő elektromos áramhoz a változás sebességének áramlását. az elektromos mezőt ezen az áramkörön keresztül, és beszéljünk a mágneses térről az áramköri keringés szempontjából.

Bal kéz szabályai

A bal kéz első szabálya

Ha a bal kéz tenyere úgy van elhelyezve, hogy a mágneses mező indukciós vonalai a tenyér belső oldalába menjenek, arra merőlegesen [i] , és négy ujját az áram mentén irányítjuk, akkor a hüvelykujját 90-kal félre kell tenni. ° jelzi a mágneses térből az árammal rendelkező vezetőre ható erő irányát. Ezt az erőt Amper-erőnek nevezik . Ez az áram bal kéz szabálya

A bal kéz második szabálya

Ha a töltés mozog, és a mágnes nyugalomban van, akkor a bal kéz szabálya érvényes az erő irányának meghatározására: „Ha a bal kéz úgy van elhelyezve, hogy a mágneses mező indukciós vonalai a tenyér belső oldalába kerüljenek. merőleges rá, és négy ujja az áram mentén van irányítva (pozitívan a mozgási töltésű részecske mozgása mentén vagy egy negatív töltésű részecske mozgása ellen), akkor a 90 ° -kal félretett hüvelykujj megmutatja Lorentz vagy Ampère ható erejének irányát. .

Példák

Lásd még

Megjegyzések

  1. ↑ Az alap orientációjának általános fogalmának matematikai részleteit, amelyet itt tárgyalunk, lásd az Orientáció című cikket .
  2. ↑ Ez azt jelenti, hogy más szabályok is tetszőleges számban kényelmesek lehetnek, de ezek használata nem szükséges.
  3. ↑ Az irány meghatározása itt mindenhol a két ellentétes irány egyikének a megválasztását jelenti (csak két ellentétes vektor közötti választást), vagyis a pozitív irány megválasztásán múlik.
  4. ↑ Ellenőrizheti, hogy ez általában igaz-e, a vektorszorzat elemi definíciója alapján: A vektorszorzat egy olyan vektor, amely merőleges mindkét faktorvektorra, és mérete (hossza) egyenlő a paralelogramma területével . Ugyanaz, hogy a két lehetséges, a két megadottra merőleges vektor közül melyiket válasszuk - és ott van a főszöveg tárgya, ott van feltüntetve az a szabály, amely ezt lehetővé teszi és kiegészíti az itt megadott definíciót.
  5. ↑ A balos menetet a modern technológia csak akkor alkalmazza, ha a jobbmenet használata a spontán kicsavarodás veszélyéhez vezetne az alkatrész állandó egyirányú forgása hatására - például balos menetet a kerékpárkerék tengelyének bal végén használnak. Ezenkívül bal oldali meneteket használnak a szabályozókban és az éghető gázpalackokban, hogy elkerüljék az éghető gáz szabályozójának az oxigénpalackhoz való csatlakoztatását .
  6. ↑ Különösen, esetükben kényelmesebbek lehetnek, mint az általános szabály, sőt néha elég organikusan megfogalmazva, hogy különösen könnyen megjegyezhetőek legyenek; ami azonban úgy tűnik, nem teszi könnyebbé mindegyikre emlékezni, mint egyetlen általános szabályra emlékezni.
  7. ↑ Még akkor is, ha meglehetősen aszimmetrikus (és a forgástengelyhez képest aszimmetrikusan elhelyezkedő) testről van szó, tehát a szögsebesség és a szögimpulzus közötti arányossági együttható a tehetetlenségi tenzor, ami nem redukálható numerikus együtthatóra. , és a szögimpulzus-vektor ekkor általában nem párhuzamos a szögsebesség-vektorral, azonban a szabály abban az értelemben működik, hogy az irányt közelítőleg jelzi, de ez elegendő két ellentétes irány közötti választáshoz.
  8. ↑ Szigorúan véve ennél az összehasonlításnál van egy állandó 2-es együttható is, de ez nem fontos ebben a témában, hiszen most csak a vektor irányáról beszélünk, nem pedig a nagyságáról.
  9. ↑ Nem követelmény.

Források

Linkek