Gleccser-Kinkelin állandó

A Glaisher - Kinkelin konstans a matematikában egy valós szám , A -val jelölve , amely a K -függvényhez és a Barnes-függvényhez kapcsolódik, és a Riemann-zéta-függvény deriváltjának értékével is kifejezhető. $\zeta '(-1)$

A=\exp \left({\tfrac {1}{12}}-\zeta '(-1)\right)

Ez az állandó különféle összegekben és integrálokban jelenik meg, különösen azokban, amelyekben a gamma-függvény vagy a Riemann-zéta-függvény szerepel .

A Glaisher-Kinkelin állandó számértékét végtelen tizedes törtként fejezzük ki [1] [2] :

A = 1,282427129100622636875342568869791727767688927 … ( A074962 sorozat az OEIS -ben )

Nevét James Whitbread Lee Glaisher angol matematikusról ( 1848-1928) és Hermann Kinkelin svájci matematikusról ( 1832-1913 ) kapta, akik munkáikban figyelembe vették [3] [4] .

Ábrázolások a K-függvényen és a Barnes-G-függvényen keresztül

Az argumentum pozitív egész értékei esetén a K-függvény a következőképpen ábrázolható

{\displaystyle K(n)=\prod _{k=1}^{n-1}k^{k))

A Barnes G-függvényhez kapcsolódik , amely az argumentum pozitív egész értékei esetén a következőképpen ábrázolható:

G(n)=\prod _{k=1}^{n-2}k!={\frac {\left[\Gamma (n)\right]^{n-1}}{K( n)}}

hol van a gammafüggvény , . $\Gamma (n)$ $\Gamma (n)=(n-1)!$

Az A Glaisher-Kinkelin állandó határértékként definiálható [5]

A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{- n^{2}/4}}}

vagy, ill.

A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {(2\pi )^{n/2}n^{n^{2}/2-1/12}e^{-3n ^{2}/4+1/12}}{G(n+1)}}

Az is ismert, hogy [6]

G\left({\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1/24}\pi ^{-1/4}e^{1/8}A^{-3/ 2}

Reláció a Riemann zéta függvényhez

Az A Glaischer-Kinkelin konstans a Riemann zéta függvény deriváltjához kapcsolódik az argumentum [5] [7] néhány egész értékére , különösen,

\zeta ^{\prime }(-1)={\tfrac {1}{12}}-\ln A

\zeta ^{\prime }(2)=-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\ln k}{k^{2))}={\frac {\ pi ^{2}}{6}}\left[\gamma +\ln(2\pi )-12\ln A\jobb]

hol van az Euler-Mascheroni állandó . $\gamma$

Néhány integrál és összeg

A Glaischer-Kinkelin állandó néhány határozott integrálban és végtelen összegben jelenik meg [5] ,

\int _{0}^{1/2}\ln \Gamma (x)\;{\rm {d}}x={\tfrac {3}{2}}\ln {A}+{ \tfrac {5}{24}}\ln {2}+{\tfrac {1}{4}}\ln {\pi }

\int _{0}^{\infty }{\frac {x\ln x}{e^{2\pi x}-1}}\;{\rm {d}}x={\tfrac {1}{2}}\zeta ^{\prime }(-1)={\tfrac {1}{24}}-{\tfrac {1}{2}}\ln {A}

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\ln(2k+1)}{(2k+1)^{2))}=\pi ^{2}\left( {\tfrac {3}{2}}\ln {A}-{\tfrac {1}{6}}\ln {2}-{\tfrac {1}{8}}\ln {\pi }-{ \tfrac {1}{8}}\gamma \right)

Ez az állandó összegként is ábrázolható [8] [9] , ami a Helmut Hasse által a Riemann zéta függvényre kapott reprezentációból következik ,

\ln {A}={\tfrac {1}{8}}-{\tfrac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{ n+1}}\sum _{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}{\binom {n}{k}}\left(k+1\right)^{ 2}\ln(k+1)

ahol a binomiális együttható . ${\displaystyle {\textstyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(nk)!))))$

Jegyzetek

↑ Fredrik Johansson et al. A Glaisher-Kinkelin állandó 20 000 számjegye A = exp(1/12 - zeta'(-1)) (angol) (HTML) (lefelé mutató hivatkozás) . mpmath.googlecode.com. Letöltve: 2012. szeptember 11. Az eredetiből archiválva : 2012. október 31..
↑ A074962 – Az A Glaisher-Kinkelin állandó decimális kiterjesztése (angol) (HTML). Az On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), oeis.org. Letöltve: 2012. szeptember 11. Az eredetiből archiválva : 2012. október 31..
↑ Hermann Kinkelin , Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung Archiválva : 2016. január 16., a Wayback Machine , Journal für die reine und angewandte Mathematik 57, 1860, 1861, 2–1 pp.
↑ JWL Glaisher , A termékről 1¹.2².3³...nⁿ , A matematika hírnöke 7, 1878, p. 43–47
↑ 1 2 3 Eric W. Weisstein. Glaisher–Kinkelin Constant (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
↑ J. Choi és HM Srivastava. A Zeta függvényt tartalmazó sorozatok bizonyos osztályai // Journal of Mathematical Analysis and Applications. - 1999. - 1. évf. 231 . - P. 91-117. - doi : 10.1006/jmaa.1998.6216 .
↑ Weisstein, Eric W. Riemann Zeta függvény a Wolfram MathWorld webhelyén .
↑ Jesus Guillera és Jonathan Sondow (2005), Kettős integrálok és végtelen szorzatok néhány klasszikus konstanshoz a Lerch-féle transzcendens analitikus folytatásain keresztül, arΧiv : math.NT/0506319 .
↑ Jesus Guillera és Jonathan Sondow. Kettős integrálok és végtelen szorzatok néhány klasszikus állandóhoz a Lerch-féle transzcendens analitikus folytatásain keresztül // Ramanujan Journal [ . - 2008. - Vol. 16 . - 247-270. - doi : 10.1007/s11139-007-9102-0 .

Linkek

Eric W. Weisstein. Glaisher–Kinkelin Constant (angolul) a Wolfram MathWorld weboldalán .
Eric W. Weisstein. Riemann Zeta Function (angol) a Wolfram MathWorld weboldalán .