Padovan sorozat

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. augusztus 10-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Padovan sorozat egy P ( n ) egész sorozat kezdeti értékekkel

P(0)=P(1)=P(2)=1

és a lineáris ismétlődési reláció

P(n)=P(n-2)+P(n-3).

P ( n ) első értékei :

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, … ( OEIS sorozat A000931 )

A padovai sorozat Richard Padovan nevéhez fűződik , aki Dom. Hans van der Laan: Az 1994 -es Modern Primitive felfedezését Hans van der Laan holland építésznek tulajdonította [1] . A sorozat azután vált széles körben ismertté, hogy Ian Stuart 1996 júniusában a Scientific American Mathematical Recreations rovatában leírta .

Ismétlődő kapcsolatok

A Padovan sorozat a következő rekurzív relációknak engedelmeskedik:

P(n)=P(n-1)+P(n-5)

P(n)=P(n-2)+P(n-4)+P(n-8)

P(n)=2P(n-2)-P(n-7)

P(n)=P(n-3)+P(n-4)+P(n-5)

P(n)=P(n-3)+P(n-5)+P(n-7)+P(n-8)+P(n-9)

P(n)=P(n-4)+P(n-5)+P(n-6)+P(n-7)+P(n-8)

P(n)=4P(n-5)+P(n-14).

A Perrin szekvencia ugyanazokat az összefüggéseket elégíti ki, de eltérő kezdeti értékei vannak. A Padovan és Perrin szekvenciákat a következők is összefüggenek:

\mathrm {Perrin} (n)=P(n+1)+P(n-10).

Kiterjesztés a negatív számok tartományára

A Padovan sorozat kiterjeszthető a negatív számok tartományára az ismétlődési reláció segítségével

P(-n)=P(-n+3)-P(-n+1).

(ez hasonlít a Fibonacci-szekvencia kiterjesztéséhez a szekvencia negatív indexeinek régiójára). P ( n ) ilyen kiterjesztése adja az értékeket

…, −7, 4, 0, −3, 4, −3, 1, 1, −2, 2, −1, 0, 1, −1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, egy,…

Tagi összegek

A sorozat első n tagjának összege 2-vel kisebb, mint P ( n + 5), azaz.

\sum _{{m=0}}^{n}P(m)=P(n+5)-2.

A páros/páratlan tagok összegét, minden harmadikat és minden ötödik tag összegét szintén bizonyos képletek fejezik ki:

\sum _{{m=0}}^{n}P(2m)=P(2n+3)-1

\sum _{{m=0}}^{n}P(2m+1)=P(2n+4)-1

\sum _{{m=0}}^{n}P(3m)=P(3n+2)

\sum _{{m=0}}^{n}P(3m+1)=P(3n+3)-1

\sum _{{m=0}}^{n}P(3m+2)=P(3n+4)-1

\sum _{{m=0}}^{n}P(5m)=P(5n+1).

Az összegek, beleértve a feltételek szorzatait is, a következő összefüggéseket elégítik ki:

\sum _{{m=0}}^{n}P(m)^{2}=P(n+2)^{2}-P(n-1)^{2}-P(n-3) )^{2}

\sum _{{m=0}}^{n}P(m)^{2}P(m+1)=P(n)P(n+1)P(n+2)

\sum _{{m=0}}^{n}P(m)P(m+2)=P(n+2)P(n+3)-1.

Egyéb arányok

A Padovan sorozat is kielégíti a függőséget

P(n)^{2}-P(n+1)P(n-1)=P(-n-7).

Ez binomiális együtthatóval is kifejezhető :

\sum _{2m+n=k}{m \choose n}=P(k-2).

Például, ha k = 12, annak az ( m ; n ) párnak az értékei, amelyekre 2 m + n = 12, amelyek nullától eltérő binomiális együtthatókat adnak, a következők: (6; 0), (5; 2) és (4; 4), és:

{6 \choose 0}+{5 \choose 2}+{4 \choose 4}=1+10+1=12=P(10).

Általános kifejezés formula

A Padovan sorozat tagjai az egyenlet gyökeinek hatványaival fejezhetők ki

x^{3}-x-1=0.

Ennek az egyenletnek három gyöke van: egy valós gyök – a p ≈ 1,324718 képlékeny szám és két komplex konjugált gyök , q és r . Segítségükkel megírhatja a Binet-képlet analógját a Padovan-szekvencia általános kifejezésére:

P\left(n\right)={\frac {p^{n}}{\left(3p^{2}-1\right)))+{\frac {q^{n}}{\left( 3q^{2}-1\jobbra)))+{\frac {r^{n}}{\left(3r^{2}-1\jobbra))).

Mivel mindkét q és r komplex gyök abszolút értéke kisebb, mint 1, ezért n- edik hatványuk 0-ra hajlik, ahogy n növekszik . Így az aszimptotikus képlet érvényes:

P\left(n\right)\approx {\frac {p^{n}}{\left(3p^{2}-1\right)))={\frac {p^{n}}{s} }\approx {\frac {p^{n}}{4.264632\ldots }},

ahol s az egyenlet valódi gyöke . Ez a képlet használható gyors számításokhoz nagy n esetén . $s^{3}-3s^{2}-23=0$ $P(n)$

A Padovan-sorozat szomszédos tagjainak aránya a p képlékeny számhoz hajlik . Ez a konstans ugyanazt a szerepet játszik a Padovan és Perrin szekvenciáknál, mint az aranymetszés a Fibonacci sorozatnál.

Kombinatorikus értelmezések

P ( n ) az n + 2 2 és 3 összegeként való felírásának módjainak száma , adott sorrendben. Például P (6) = 4, mivel a 8-at négyféleképpen írhatjuk fel kettős és hármas összegeként, eltérő sorrendben:

2+2+2+2; 2+3+3; 3 + 2 + 3; 3+3+2

P (2 n - 2) az a szám, ahányféleképpen írhatjuk fel n -t sorrendérzékeny összegként, amelyben egyetlen tag sem egyenlő 2-vel. Például P (6) = 4, mivel 4 ilyen módon írható fel. :

négy ; 1+3; 3+1; 1+1+1+1

P ( n ) az n -nek olyan sorrend-érzékeny palindróma összegként történő felírásának a száma, amelyben egyetlen tag sem egyenlő 2-vel. Például P (6) = 4, mivel a fenti módon 4 módon írható fel 6 :

6; 3 + 3; 1+4+1; 1+1+1+1+1+1

P ( n − 4) az n összegként való felírásának módjainak száma, olyan sorrendben, amelyben mindegyik kongruens 2 modulo 3-hoz. Például P (6) = 4, mivel 4 módon írható fel 10-es szám így:

8+2; 2+8; 5 + 5; 2+2+2+2+2

Függvény generálása

A Padovan sorozat generáló függvénye :

G(P(n);x)={\frac {1+x}{1-x^{2}-x^{3}}}.

Ez felhasználható a Padovan sorozat és a geometriai progresszió szorzatait magában foglaló kapcsolatok bizonyítására, mint például ez:

\sum _{{m=0}}^{{\infty }}{\frac {P(n)}{2^{n}}}={\frac {12}{5}}.

Egyszerű Padovana

A Padovan prím P ( n ) , ami egy prímszám . Az első néhány egyszerű padován a következő:

2, 3, 5, 7, 37, 151, 3329, 23833, … ( A100891 sorozat az OEIS -ben )

Általánosítások

Padovan polinomok

A Fibonacci-számokhoz hasonlóan , amelyeket polinomok ( Fibonacci-polinomok ) általánosítanak, a Padovan-sorozat is általánosítható Padovan-polinomokkal .

Padovan L-rendszere

Ha definiáljuk ezt az egyszerű nyelvtant:

változók : ABC állandók : nincs kezdés : A szabályok : (A → B), (B → C), (C → AB)

akkor egy ilyen Lindenmeyer-rendszer ( L-rendszer ) a következő sorokat adja:

n = 0: A n = 1: B n =2:C n = 3: AB n = 4: Kr. e n = 5: CAB n = 6: ABBC n = 7: BCCAB n = 8: CABABBC

és ha megszámoljuk mindegyik hosszát, akkor a Padovan sorozatot kapjuk:

1 1 1 2 2 3 4 5 7 …

Továbbá, ha minden sorban megszámoljuk az A , B és C karakterek számát , akkor az n- edik sorhoz P ( n − 5) A karakter , P ( n − 3) B és P ( n − 4) karakter lesz. karakterek C. _ A BB , AA és CC párok száma szintén padován szám.

Padovan téglatestű spirálja

A Padovan téglatest spirál számos 3D-s téglatest sarkainak összekapcsolásával építhető. A spirál egymást követő oldalainak hossza a Padovan sorozat tagjai, megszorozva 2 négyzetgyökével.

Jegyzetek

↑ Richard Padovan. Dom Hans van der Laan: modern primitív : Architectura & Natura Press, ISBN 9789071570407 .

Linkek

Weisstein, Eric W. Padovan Sequence (angol) a Wolfram MathWorld webhelyén .
Richard Padovan, Dom Hans Van Der Laan és a műanyag szám
Ian Stewart : Egy elhanyagolt szám meséi
Padovan Sequence feltételek kalkulátor