Appel sorozat

Az Appel sorozat polinomok sorozata [ , amely megfelel a következő azonosságnak: $\{p_{n}(x)\}_{n=0,1,2,\ldots }$

{\frac {d}{dx}}p_{n}(x)=np_{n-1}(x)

ahol egy nem nulla állandó. $p_{0}(x)$

Paul Emil Appelről nevezték el . A leghíresebb Appel-szekvenciák közé tartozik a triviális példa mellett a Hermite-polinomok , a Bernoulli-polinomok és az Euler-polinomok . Minden Appel -szekvencia egy Schaeffer-szekvencia , de általában a Schaeffer-szekvenciák nem Appel-szekvenciák. Az Appel sorozatok valószínűségi értelmezése pillanatrendszerekként történik . $\{x^{n}\}$

Egyenértékű definíciók

A polinomok sorozataira vonatkozó alábbi feltételek egyenértékűek egy Appell sorozat meghatározásával:

néhány skalársorozathoz a következővel: ${\displaystyle \{c_{n}\}_{n=0}^{\infty ))$ $c_{0}\neq 0$ $p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}c_{k}x^{nk}$ ;
ugyanarra a skalársorozatra: $p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x ^{n}$ , hol ; $D={\frac {d}{dx))$
számára : $n=0,1,2,\ldots$ $p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)y^{nk}$ .

Rekurzív hozzárendelés

Ha egy:

p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{c_{k} \over k!}D^{k}\right)x^{n} =Sx^{n}

ahol az utolsó egyenlőség egy lineáris operátort határoz meg a polinomok terén , és: $S$ $x$

T=S^{-1}=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right) ^{-1}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}

az inverz operátor, ahol az együtthatók az inverz formális hatványsor együtthatói , így: $a_{k}$

Tp_{n}(x)=x^{n}\,

( az árnyékkalkulus terminológiájában gyakran egy formális hatványsort használnak maga az Appel-sorozat helyett ), akkor van: $T$ $p_n$

\ln T=\ln \left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}}{k!}}D^{k}\right)

a szokásos sorozatbővítést használva a logaritmushoz és a formális sorozatok összetételének szokásos definíciójához. Honnan származik: $\ln(x)$

p_{n+1}(x)=(x-(\ln T)')p_{n}(x)

(Egy sorozatnak ez a formális differenciálása egy differenciáloperátorhoz képest a Pinkerle-származék példája ). $D$

A Hermite polinomok esetében ez a sorozat szokásos rekurzív képletére redukálódik.

Schaeffer-polinomok alcsoportja

Az összes Schaeffer-szekvencia halmaza a polinomiális sorozatok árnyékkompozíciója alatt zárva van, az alábbiak szerint. Legyen és az alábbiak szerint meghatározott polinomiális sorozatok: ${\displaystyle \{p_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \))$ ${\displaystyle \{q_{n}(x)\colon n=0,1,2,\ldots \))$

p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}{\text{ és }}q_{n}(x)=\ összeg _{k=0}^{n}b_{n,k}x^{k}

Ekkor az árnyékkompozíció polinomok sorozata, amelynek a következő alakja van: $p\circ q$ $n$

{\displaystyle (p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}q_{k}(x)=\sum _{0\leqslant \ ell \leqslant k\leqslant n}a_{n,k}b_{k,\ell }x^{\ell ))

(az alsó index a -ban jelenik meg , mivel ennek a sorozatnak a th tagja, de nem -ben , mivel itt a teljes sorozatra vonatkozik, nem annak egyik tagjára). $n$ $p_n$ $n$ $q$ $q$

Egy ilyen művelet során az összes Schaeffer-szekvencia halmaza egy nem Abeli-csoport , de az összes Appel-sorozat halmaza egy Abeli-alcsoport . Abeli tulajdonsága abból a tényből következik, hogy minden Appel-szekvenciának a következő alakja van:

p_{n}(x)=\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{k!}}D^{k}\right)x ^{n}

és hogy az Appel sorozatok árnyékszorzata megfelel ezeknek a formális hatványsoroknak egy operátorváltozóval való szorzásának . $D$

Irodalom

Appell, Paul (1880). „Sur une classe de polynomes” . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 2e sorozat. 9 , 119-144.
Roman, Steven; Rota, Gian-Carlo (1978). "Az umbrális kalkulus". Előrelépések a matematikában . 27 (2): 95-188. DOI : 10.1016/0001-8708(78)90087-7 ..
Rota, Gian-Carlo; Kahaner, D.; Odlyzko, Andrew (1973). Véges operátorszámítás. Journal of Mathematical Analysis and Applications . 42 (3): 685-760. DOI : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 .Újranyomva az azonos című könyvben, Academic Press, New York, 1975.
Steve Roman. Az Umbral Calculus. — Dover Publications .
Theodore Seio Chihara. Bevezetés az ortogonális polinomokba. - Gordon és Breach, New York, 1978. - ISBN 978-0-677-04150-6 .

Linkek

Fellebbezési szekvenciák – Encyclopedia of Mathematics cikk . Yu. A. Kazmin
Appell Sequence a MathWorldben