Subring

A gyűrű részgyűrűje  egy pár , ahol  a gyűrű és  a gyűrűk monomorfizmusa ( beágyazódása ). Ez a meghatározás összhangban van a kategóriaelmélet részobjektumának általános fogalmával .

A klasszikus definíció szerint egy gyűrű részgyűrűjét a műveletek alatt és a főgyűrűből zárt részhalmaznak tekintjük . Ez a meghatározás megegyezik a fentivel, de a modern definíció az algyűrűk belső szerkezetét és a különböző gyűrűk közötti kapcsolatot hangsúlyozza. Könnyen általánosítható tetszőleges matematikai objektumokra is (algebrai, geometriai stb.). A definíciók közötti különbség analóg a matematika halmazelméleti és kategóriaelméleti szemlélete közötti különbséggel.

A gyűrű különféle meghatározásai az algyűrű két alapvető és értelmes fogalmát adják. Az (összes) gyűrűk kategóriájában az algyűrűt, a klasszikus definícióhoz hasonlóan, egy gyűrű tetszőleges részhalmazának tekinthetjük, amely összeadás és szorzás során zárt. Érdekesebb a helyzet az egységgyűrűk kategóriájában : az ebbe a kategóriába tartozó morfizmusoknak (homomorfizmusoknak) a gyűrű azonosságát a gyűrű azonosságára kell leképezniük (hasonlóan az egységgel rendelkező félcsoportok homomorfizmusához ), tehát a gyűrű részgyűrűjének. tartalmaznia kell a következő azonosítót is: .

A kategória sokkal jobban szervezett, mint a . Például bármely homomorfizmus magja is ebbe a kategóriába tartozik. Emiatt az algyűrűről beszélve általában algyűrűt jelent -ben , hacsak másképp nem jelezzük.

Példák
  1. Bármilyen ideál (bal, jobb, kétoldalas) összeadás és szorzás alatt zárva van, ezért részgyűrű -ben .
  2. Az ideál csak akkor algyűrű, ha tartalmazza a -t , tehát egybe kell esnie a teljes gyűrűvel. Ezért a megfelelő ideálok nem alárendeltek.
  3. Az algyűrűk mind lehetséges főideálok . B -nek nincs saját algyűrűje.
  4. Az egész számok gyűrűje a valós számok mezőjének részgyűrűje és a polinomok gyűrűjének részgyűrűje .

Irodalom

Lásd még