A gyűrű részgyűrűje egy pár , ahol a gyűrű és a gyűrűk monomorfizmusa ( beágyazódása ). Ez a meghatározás összhangban van a kategóriaelmélet részobjektumának általános fogalmával .
A klasszikus definíció szerint egy gyűrű részgyűrűjét a műveletek alatt és a főgyűrűből zárt részhalmaznak tekintjük . Ez a meghatározás megegyezik a fentivel, de a modern definíció az algyűrűk belső szerkezetét és a különböző gyűrűk közötti kapcsolatot hangsúlyozza. Könnyen általánosítható tetszőleges matematikai objektumokra is (algebrai, geometriai stb.). A definíciók közötti különbség analóg a matematika halmazelméleti és kategóriaelméleti szemlélete közötti különbséggel.
A gyűrű különféle meghatározásai az algyűrű két alapvető és értelmes fogalmát adják. Az (összes) gyűrűk kategóriájában az algyűrűt, a klasszikus definícióhoz hasonlóan, egy gyűrű tetszőleges részhalmazának tekinthetjük, amely összeadás és szorzás során zárt. Érdekesebb a helyzet az egységgyűrűk kategóriájában : az ebbe a kategóriába tartozó morfizmusoknak (homomorfizmusoknak) a gyűrű azonosságát a gyűrű azonosságára kell leképezniük (hasonlóan az egységgel rendelkező félcsoportok homomorfizmusához ), tehát a gyűrű részgyűrűjének. tartalmaznia kell a következő azonosítót is: .
A kategória sokkal jobban szervezett, mint a . Például bármely homomorfizmus magja is ebbe a kategóriába tartozik. Emiatt az algyűrűről beszélve általában algyűrűt jelent -ben , hacsak másképp nem jelezzük.
Példák