Hurwitz felület

A Hurwitz felület  egy kompakt Riemann felület , amelynek pontosan van

automorfizmusok, ahol g  a felszín nemzetsége . Hurwitz -görbének is nevezik őket, miközben összetett algebrai görbékként értelmezik őket (az 1. összetett dimenzió a 2. valós dimenziónak felel meg).

Nevét Adolf Hurwitz német matematikusról kapta .

Tulajdonságok

• Ez a szám, 84( g − 1) , a Hurwitz-féle automorfizmus-tétel [1] miatt maximális .

• A Hurwitz-felület fuksziánus csoportja a (közönséges) háromszögcsoport (2,3,7) véges indexének normál részcsoportja, és szintén csavarodásmentes. Egy véges faktorcsoport pontosan egy automorfizmus csoport.

• Az összetett algebrai görbe automorfizmusai az alapul szolgáló valós felület orientációmegőrző automorfizmusai. Ha figyelembe vesszük az orientáció- fordító izometriákat is, akkor kétszer akkora, 168( g − 1) rendű csoportot kapunk, ami néha érdekes.

Jegyzetek

• Itt a "háromszögcsoport (2,3,7)" leggyakrabban egy nem teljes Δ(2,3,7) háromszögcsoportot jelent ( egy Coxeter-csoport egy Schwartz-háromszöggel (2,3,7), vagy mint egy hiperbolikus reflexiós csoport ), hanem az orientációmegőrző leképezések közönséges háromszögcsoportja ( von Dyck csoport ) D (2,3,7), indexe 2. A komplex automorfizmus csoport a közönséges háromszögcsoport hányadoscsoportja , míg az izometria csoport (lehetséges átirányítással) az általános háromszögcsoport faktorcsoportja.

Példák

A minimális nemzetséghez tartozó Hurwitz-felület a 3. nemzetség Klein-kvartikus , a PSL(2,7) ( projektív speciális lineáris csoport) automorfizmuscsoporttal 84(3−1) = 168 = 2 2 •3•7. és hogy egyszerű csoport . A következő megengedhető nemzetség hét, és van egy McBeath felülete a PSL(2,8) automorfizmus csoporttal, ami egy egyszerű csoport a 84(7−1) = 504 = 2 2 •3 2 •7 rendű. Ha figyelembe vesszük az orientációváltó izometriákat is, akkor a csoport sorrendje 1008 lesz.

Érdekes jelenség fordul elő a nemzetség következő lehetséges értékénél, nevezetesen a 14-nél. Itt három különböző Riemann-felület van, azonos automorfizmus-csoportokkal (84(14−1) = 1092 = 2 2 •3•7•13 rendű) . Ennek a jelenségnek a magyarázata aritmetikai. Ugyanis egy megfelelő számmező egész számainak gyűrűjében a 13 racionális prím három különböző prímideál szorzatára bomlik [2] . Az elsődleges ideálok hármasával meghatározott fő kongruenciacsoportok az első Hurwitz-hármasnak megfelelő fuksziánus csoportokat .

Lásd még

• Hurwitz kvaterniók rendje

Jegyzetek

1. ↑ Hurwitz, 1893 , p. 403–442.
2. ↑ Lásd a " The First Hurwitz Triple " cikket a magyarázatért.

Irodalom

• N. Elkies . Shimura görbe számítások. Algoritmikus számelmélet. - Berlin: Springer, 1998. - T. 1423. - (Számítástechnikai előadásjegyzetek).

• A. Hurwitz. Über algebraische Gebilde mit Eindeutigen Transformationen in sich // Mathematische Annalen . - 1893. - T. 41 , sz. 3 . - doi : 10.1007/BF01443420 .

• M. Katz , M. Schaps, U. Vishne. Az aritmetikai Riemann-felületek szisztolájának logaritmikus növekedése kongruencia alcsoportok mentén // J. Differential Geom. - 2007. - T. 76 , sz. 3 . — S. 399-422 .

• David Singerman, Robert I. Syddall. Egy egységes dessin Riemann felülete // Beiträge zur Algebra und Geometrie (Hozzájárulások az algebrához és a geometriához). - 2003. - T. 44 , sz. 2 . — S. 413–430 .