Cramer paradoxona

A Cramer- paradoxon vagy az Euler-Cramer-paradoxon [1] az az állítás, hogy két magasrendű görbe metszéspontjainak száma egy síkban nagyobb lehet, mint ahány tetszőleges pont, amely általában szükséges az egyes görbék egyedi meghatározásához. A paradoxon Gabriel Cramer genfi ​​matematikusról kapta a nevét .

A paradoxon két tétel naiv megértésének eredménye:

• Bezout-tétel (két algebrai görbe metszéspontjainak száma bizonyos feltételek mellett egyenlő fokuk szorzatával).
• Cramer-tétel (az n fokú görbét n ( n + 3)/2 pont egyedileg határozza meg  , ismét bizonyos feltételek mellett).

Ne feledje, hogy minden esetén naivnak tűnik, hogy három vagy nagyobb hatvány esetén elegendő két görbe metszéspontja lehet mindkét görbe egyedi meghatározásához.

A probléma az, hogy néhány degenerált esetben n ( n + 3) / 2 pont nem elegendő a görbe egyedi meghatározásához.

Történelem

A paradoxont ​​először Maclaurin publikálta [2] [3] . Cramer és Euler 1744-1745 között leveleztek a paradoxonról, és Euler elmagyarázta a problémát Cramernek [4] . A problémát Cramer 1750-es Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques című publikációja után kezdték el Cramer paradoxonának nevezni , bár Cramer az állítás forrásaként Maclaurint jelölte meg [5] . Körülbelül ugyanebben az időben Euler olyan példákat tett közzé, amelyek azt mutatják, hogy egy köbös görbe nem feltétlenül határozható meg egyértelműen 9 ponttal [4] [6] , és tárgyalta a problémát Introductio in analysin infinitorum című könyvében . Az eredményt James Stirling tette közzé, és Julius Plücker magyarázta [1] .

Nincs paradoxon az egyenes és nem degenerált kúpszelvényeknél

Az elsőrendű görbéknél (azaz egyenes vonalaknál ) a paradoxon nem jelenik meg, mivel n \u003d 1, tehát n 2 \u003d 1 < n ( n + 3) / 2 \u003d 2. Általában két különböző Az L 1 és L 2 egyenesek egy P pontban metszik egymást , kivéve, ha az egyenesek meredeksége azonos, ebben az esetben az egyenesek egyáltalán nem metszik egymást. Egy pont nem elég egy egyenes egyedi meghatározásához (kettő szükséges). Nem két, hanem végtelen sok egyenes megy át a P ponton .

Hasonlóképpen, két nem degenerált kúpszelvény maximum 4 végpontban metszi egymást, és 5 pont szükséges egy nem degenerált görbe egyedi meghatározásához.

Cramer példája köbös görbékhez

Eulernek írt levelében Cramer rámutatott, hogy a köbös görbék pontosan 9 pontban metszik egymást (mindegyik egyenlet három párhuzamos egyenes halmazát képviseli ) . Kiderült, hogy ez a 9 pont nem elegendő egy köbös görbe egyedi meghatározásához, így legalábbis degenerált esetben az állítás igaz.

Jegyzetek

1. ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. "Cramér-Euler paradoxon." A MathWorldtől – egy Wolfram webes forrásból. http://mathworld.wolfram.com/Cramer-EulerParadox.html Archiválva : 2018. február 3. a Wayback Machine -nél
2. ↑ Maclaurin, 1720 .
3. ↑ Tweedie, 1891 , p. 87–150.
4. ↑ 1 2 Struik, 1969 , p. 182.
5. ↑ Tweedie, 1915 , p. 133–151.
6. ↑ Euler, 1750 , p. 219-233.

Irodalom

• Colin Maclaurin. Geometria Organica . – London, 1720.
• Charles Tweedie. V. – Colin Maclaurin „Geometria Organica” című műve: Történelmi és kritikai felmérés  // Az Edinburgh-i Királyi Társaság tranzakciói. - 1891. - január ( 36. évf. , 1-2. szám ). - doi : 10.1017/S0080456800004932 .
• Charles Tweedie. Tanulmány Colin Maclaurin életéről és írásairól // The Mathematical Gazette. - 1915. - T. 8 , sz. 119 . — .
• Struik DJ A matematikai forráskönyv, 1200-1800. - 1969. - ISBN 0674823559 .
• Euler L. Sur une contradiction manifeste dans la doctrine des lignes courbes. // Mémoires de l'Academie des Sciences de Berlin. - 1750. - T. 4 .

Linkek

• Ed Sandifer "Cramer paradoxona"
• Cramer paradoxona a MathPages-en