Kántor paradoxona

Cantor paradoxona a halmazelmélet paradoxona, amely azt bizonyítja, hogy az összes halmazból álló halmaz létezésének feltételezése ellentmondásokhoz vezet, és ezért egy olyan elmélet , amelyben egy ilyen halmaz felépítése lehetséges, nem következetes.

Megfogalmazás

Tegyük fel, hogy az összes halmaz halmaza létezik. Ebben az esetben igaz , hogy minden halmaz a részhalmaza . De ebből az következik, hogy egyetlen halmaz számossága sem haladja meg a számosságot . $V=\{x\közép x=x\}$ $\forall x\forall T(x\in T\rightarrow x\in V)$ $T$ $V$ $\forall T\;|T|\leqslant |V|$ $V$

Ám az összes részhalmaz halmazának axiómája alapján, -hoz, valamint bármely halmazhoz, létezik az összes részhalmaz halmaza , és Cantor tétele szerint, ami ellentmond az előző állításnak. Ezért nem létezhet, ami ellentmond a "naiv" hipotézisnek , miszerint bármely szintaktikailag helyes logikai feltétel meghatároz egy halmazt, azaz minden olyan formulához , amely nem tartalmaz free-t. $V$ ${\mathcal {P}}(V)$ $|{\mathcal {P}}(V)|=2^{|V|}>|V|$ $V$ $\exists y\forall z(z\in y\bal jobbra nyíl A)$ $A$ $y$

Egyéb megfogalmazás

Nincs maximális bíborszám . Valóban: létezzen és legyen egyenlő -val . Aztán a Cantor-tétel alapján . $\mu$ $2^{\mu }>\mu$

Következtetések

Ez a paradoxon, amelyet Cantor fedezett fel 1899 körül , feltárta a „naiv halmazelmélet” felülvizsgálatának szükségességét ( Russell paradoxonát valamivel később, 1901 körül fedezték fel ), és ösztönözte a halmazelmélet szigorú axiomatikájának kidolgozását . Az axiómák sémáját mint ellentmondásosat elvetették, helyette a képlet által adott feltételtípusra korlátozó rendszert dolgoztak ki . $\exists y\forall z(z\in y\bal jobbra nyíl A)$ $A$

Kántor paradoxona

Megfogalmazás

Egyéb megfogalmazás

Következtetések

Lásd még