Poincaré térképezés

A dinamikus rendszerelméletben , a matematika egyik ágában a Poincaré - térkép (más néven szukcessziós térkép , első visszatérési térkép ) egy fázistérbeli terület saját magára (vagy egy másik területre) vetítése a rendszer pályái (fázisgörbéi) mentén.

Tekintsük a felület egy részét a fázistérben (a Poincaré-szakasz ) a rendszer vektormezejére keresztben (vagyis nem érinti a mezőt; gyakran azt mondják, hogy egyszerűen transzverzális ). A transzverzális egy pontjától elengedjük a rendszer pályáját. Tegyük fel, hogy egy ponton a pálya először ismét keresztezte a keresztirányt; jelölje a metszéspontot -val . Egy pont Poincaré-leképezése az első visszatérési pontot a -hoz társítja . Ha a felszabaduló pálya soha nem tér vissza a transzverzálisra, akkor a Poincaré-térkép ezen a ponton definiálatlan.

Hasonlóképpen, egy Poincaré-leképezést (sucessziós leképezést) lehet definiálni nem csak a transzverzálisból önmagába, hanem az egyik transzverzálisból a másikba is.

A Poincaré-leképezés iterációi valamilyen transzverzálisról önmagára egy diszkrét idejű dinamikus rendszert alkotnak egy alacsonyabb dimenziójú fázistéren. Ennek a rendszernek a tulajdonságai szorosan összefüggenek a folytonos idővel rendelkező eredeti rendszer tulajdonságaival (például a Poincaré-térkép fix és periodikus pontjai a rendszer zárt pályáinak felelnek meg). Így kapcsolat jön létre egyrészt a vektormezők és áramlásaik, másrészt a leképezési iterációk között. A Poincaré térkép fontos eszköze a folyamatos idejű dinamikus rendszerek tanulmányozásának.

Lásd még

fényvisszaverő funkció

Linkek