Rayleigh-reláció

A matematikában egy adott komplex Hermit-mátrix és egy nem nulla vektor esetén a Rayleigh-reláció [1] a következőképpen definiálható [2] [3] : $M$ $x$ $R(M,x)$

R(M,x)={x^{{*}}Mx \az x^{{*}}x} felett.

Valós mátrixok esetén a mátrix hermitikusságának feltétele a szimmetriájára redukálódik , és a vektorok hermitikus konjugációja közönséges transzpozícióvá válik . Vegye figyelembe, hogy minden valós állandó esetén . Emlékezzünk vissza, hogy egy hermitikus (valamint a szimmetrikus valós) mátrixnak valós sajátértékei vannak . Megmutatható, hogy egy mátrix esetében a Rayleigh-hányados akkor éri el minimális értékét (a mátrix legkisebb sajátértéke ), ha egyenlő (a megfelelő sajátvektor). Hasonló módon kimutatható, hogy és . A Rayleigh-relációt a Courant-Fisher minimax tételben használják a sajátértékek összes értékének megszerzésére [4] . A mátrix sajátértékeinek megtalálására szolgáló algoritmusokban is használják, hogy sajátérték-közelítést kapjanak egy sajátvektor-közelítésből. Ugyanis a reláció a Rayleigh-relációval való iterációk alapja [5] [6] . $x^{{*}}$ $x'$ $R(M,cx)=R(M,x)$ $c\neq 0$ $\lambda _{\min }$ $M$ $x$ $v_{\min }$ $R(M,x)\leq \lambda _{\max}$ $R(M,v_{\max })=\lambda _{\max}$

A Rayleigh-reláció értékkészletét a mátrix numerikus képének [7] [8] nevezzük .

A kovarianciamátrixok speciális esete

Az A többváltozós statisztikai minta M kovarianciamátrixa (megfigyelések mátrixa) A' A szorzatként ábrázolható [9] [10] . Mivel egy szimmetrikus valós mátrix, M -nek nemnegatív sajátértékei és ortogonális (vagy ortogonálisra redukálható) sajátvektorai vannak.

Először is, hogy a sajátértékek nem negatívak: $\lambda _{i}$

Mv_{i}=A'Av_{i}=\lambda _{i}v_{i}

\Rightarrow v_{i}'A'Av_{i}=v_{i}'\lambda _{i}v_{i}

\Rightarrow \left\|Av_{i}\right\|^{2}=\lambda _{i}\left\|v_{i}\right\|^{2}

\Rightarrow \lambda _{i}={\frac {\left\|Av_{i}\right\|^{2}}{\left\|v_{i}\right\|^{2}}}\ geq 0.

Másodszor pedig, hogy a sajátvektorok egymásra merőlegesek: $v_{i}$

Mv_{i}=\lambda _{i}v_{i}

\Rightarrow v_{j}'Mv_{i}=\lambda _{i}v_{j}'v_{i}

\Rightarrow (Mv_{j})'v_{i}=\lambda _{i}v_{j}'v_{i}

\Rightarrow \lambda _{j}v_{j}'v_{i}=\lambda _{i}v_{j}'v_{i}

\Jobbra (\lambda _{j}-\lambda _{i})v_{j}'v_{i}=0

\Rightarrow v_{j}'v_{i}=0

(ha a sajátértékek eltérőek - azonos értékek esetén ortogonális alapot találhat).

Mutassuk meg most, hogy a Rayleigh-arány a legnagyobb sajátértéknek megfelelő vektoron vesz fel egy maximális értéket. Bővítsünk ki egy tetszőleges vektort a v i sajátvektorok alapján : $x$

x=\sum _{{i=1}}^{n}\alpha _{i}v_{i}

, hol van x vetülete rá

\alpha _{i}={\frac {x'v_{i}}{v_{i}'v_{i}}}={\frac {\langle x,v_{i}\rangle }{\left\ |v_{i}\right\|^{2}}}

v_{i}

Tehát egyenlőség

R(M,x)={\frac {x'A'Ax}{x'x}}

átírható a következő formában:

R(M,x)={\frac {(\sum _{{j=1}}^{n}\alpha _{j}v_{j})'A'A(\sum _{{i=1 }}^{n}\alpha _{i}v_{i})}{(\sum _{{j=1}}^{n}\alpha _{j}v_{j})'(\sum _ {{i=1}}^{n}\alpha _{i}v_{i})}}

Mivel a sajátvektorok ortogonálisak, az utolsó egyenlőség lesz

R(M,x)={\frac {\sum _{{i=1}}^{n}\alpha _{i}^{2}\lambda _{i}}{\sum _{{i= 1}}^{n}\alpha _{i}^{2}}}=\sum _{{i=1}}^{n}\lambda _{i}{\frac {(x'v_{i })^{2}}{(x'x)(v_{i}'v_{i})}}

Az utolsó egyenlőség azt mutatja, hogy a Rayleigh-arány a vektor és az egyes sajátvektorok közötti szögek négyzetes koszinuszainak összege , megszorozva a megfelelő sajátértékkel. $x$ $v_{i}$

Ha egy vektor maximalizálja , akkor az összes skalárral való szorzásból kapott vektor ( for ) is maximalizálja R -t . Így a probléma lecsökkenthető arra, hogy a feltétel mellett megtaláljuk a maximumot . $x$ $R(M,x)$ $x$ $kx$ $k\neq 0$ $\sum _{{i=1}}^{n}\alpha _{i}^{2}\lambda _{i}$ $\sum _{{i=1}}^{n}\alpha _{i}^{2}=1$

Mivel az összes sajátérték nem negatív, a probléma egy konvex függvény maximumának megtalálására redukálódik , és kimutatható, hogy az és pontban érhető el (a sajátértékek csökkenő sorrendben vannak rendezve). $\alpha _{1}=1$ $\forall i>1,\alpha _{i}=0$

Így a Rayleigh-arány a maximális sajátértéknek megfelelő sajátvektornál éri el a maximumát.

Ugyanez az eredmény a Lagrange-szorzók használatával

Ugyanez az eredmény érhető el a Lagrange-szorzók használatával . A probléma a függvény kritikus pontjainak megtalálása

R(M,x)=x^{T}Mx

állandó értéken Azaz meg kell találni a függvény kritikus pontjait $\|x\|^{2}=x^{T}x=1.$

{\mathcal {L}}(x)=x^{T}Mx-\lambda (x^{T}x-1),

hol van a Lagrange-szorzó. A függvény stacionárius pontjaira az egyenlőség $\lambda$ ${\mathcal {L}}(x)$

{\frac {d{\mathcal {L}}(x)}{dx}}=0

\ezért 2x^{T}M^{T}-2\lambda x^{T}=0

\ezért Mx=\lambda x

és $R(M,x)={\frac {x^{T}Mx}{x^{T}x}}=\lambda {\frac {x^{T}x}{x^{T}x}} =\lambda .$

Így az M mátrix sajátvektorai a Rayleigh-reláció kritikus pontjai, sajátértékeik pedig a megfelelő stacionárius értékek. $x_{1}\ldots x_{n}$ $\lambda _{1}\ldots \lambda _{n}$

Ez a tulajdonság a főkomponens elemzés és a kanonikus korreláció alapja .

Használata a Sturm-Liouville elméletben

A Sturm-Liouville elmélet a lineáris operátor tanulmányozásából áll

L(y)={\frac {1}{w(x)}}\left(-{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\ jobb]+q(x)y\jobb)

pont termékkel

\langle {y_{1},y_{2}}\rangle =\int _{a}^{b}w(x)y_{1}(x)y_{2}(x)\,dx

ahol a függvények bizonyos meghatározott peremfeltételeket teljesítenek az a és b pontokban . A Rayleigh-reláció itt a formát ölti

{\frac {\langle {y,Ly}\rangle }{\langle {y,y}\rangle }}={\frac {\int _{a}^{b}{y(x)\left(- {\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y(x)\right)}dx}{\int _{ a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}dx}}.

Néha ezt az arányt ekvivalens formában ábrázolják a részekkel történő integrációval [11] :

{\frac {\langle {y,Ly}\rangle }{\langle {y,y}\rangle }}={\frac {\int _{a}^{b}{y(x)\left(- {\frac {d}{dx}}\left[p(x)y'(x)\right]\right)}dx+\int _{a}^{b}{q(x)y(x)^ {2}}\,dx}{\int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}\,dx}}

={\frac {-y(x)\left[p(x)y'(x)\right]|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}{y'(x) )\left[p(x)y'(x)\right]}\,dx+\int _{a}^{b}{q(x)y(x)^{2}}\,dx}{\ int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}\,dx}}

={\frac {-p(x)y(x)y'(x)|_{a}^{b}+\int _{a}^{b}\left[p(x)y'(x) )^{2}+q(x)y(x)^{2}\jobbra]\,dx}{\int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2)) \,dx}}.

Általánosítás

Valós szimmetrikus pozitív határozott mátrixok és nullától eltérő vektorok párja esetén az általánosított Rayleigh-relációt a következőképpen definiáljuk: $(A, B)$ $x$

R(A,B;x):={\frac {x^{T}Ax}{x^{T}Bx}}.

Az általánosított Rayleigh-reláció transzformációval redukálható Rayleigh -relációra , ahol a Cholesky- mátrix dekompozíciója . $R(D,Cx)$ $D={C^{*}}^{{-1}}AC^{{-1}}$ $C$ $B$

Lásd még

Egy mátrix numerikus képe

Jegyzetek

↑ Rayleigh-Ritz relációként is ismert, Walter Ritzről és Lord Rayleighről nevezték el .
↑ Horn, R. A. és C. A. Johnson. 1985. Mátrixelemzés . Cambridge University Press. pp. 176–180.
↑ Parlet BN A szimmetrikus sajátérték probléma , SIAM, Klasszikusok az alkalmazott matematikában, 1998
↑ Beckenbach, 1965 , §26 Fischer minimax tétele.
↑ Parlett, 1983 , §4.6 Iterációk a Rayleigh-relációval, p. 87).
↑ Verbitsky, 2000 , §4.3 Fordított iterációk, p. 115.
↑ Gevorgyan .
↑ Prasolov, 2008 , 2.2 A kernel és az operátor képe. Tényezőtér., p. 114.
↑ Korshunov, 2008 , Bevezetés.
↑ ACTA, 2005 .
↑ Haberman, 1987 .

Irodalom

B. Parlett. Szimmetrikus sajátérték probléma. Numerikus módszerek. – 1983.
E. Beckenbbach, R. Bellman. Egyenlőtlenségek. - Moszkva "Mir", 1965.
Richard Haberman. Alkalmazott elemi parciális differenciálegyenletek. - Prentice Hall, Englewood, New Jersey, 1987.
V. M. Verzsbitszkij. Numerikus módszerek (lineáris algebra és nemlineáris egyenletek). - Moszkva "Felsőiskola", 2000.
V. V. Prasolov. Lineáris algebra feladatai és tételei. - Moszkva, 2008.
Gevorgyan LZ Egy operátor numerikus képének néhány geometriai jellemzője . – Örményországi Állami Mérnöki Egyetem. Az eredetiből archiválva : 2006. augusztus 31.
Zdzisław Burda, Jerzy Jurkiewicz, Bartłomiej Wacław. Korrelált minták empirikus kovarianciamátrixának sajátérték-sűrűsége // Acta physica polonica B. - 2005. - Vol. 36 , no. 9 . - S. 2642 .
Korshunov Yu. M. Adott korrelációs tulajdonságokkal rendelkező többdimenziós statisztikai minta beszerzése Vestnik RGRTU. - 2008. - Kiadás. 23 .
Shi Yu, Léon-Charles Tranchevent, Bart Moor, Yves Moreau. Ch. 2 // Kernel-alapú adatfúzió gépi tanuláshoz: Módszerek és alkalmazások a bioinformatikában és szövegbányászatban . — Springer, 2011.