Ortogonális koordinátarendszer

A görbe vonalú koordinátákat ortogonálisnak nevezzük , amelyben a metrikus tenzornak átlós alakja van.

{\displaystyle ds^{2}=\sum _{k=1}^{n}\left(h_{k}dq^{k}\right)^{2))

hol van a tér mérete. skaláris tényező $n$

h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\ mathbf {e} _{k}|

egyenlő a metrikus tenzor átlós összetevőinek négyzetgyökével, vagy a lokális bázisvektor hosszával . ${\displaystyle \mathbf {e} _{k))$

Az ortogonális koordinátarendszerekben a koordinátafelületek merőlegesek egymásra. A derékszögű koordinátarendszerben a és a koordinátatengelyek merőlegesek egymásra . $\mathbf {q} =(q^{1},q^{1},\ldots ,q^{n})$ $Ökör$ $Oy$ $Oz$

Ennek vagy annak az ortogonális koordináta-rendszernek a megválasztását a rendszer szimmetriája határozza meg. Például egy elektromágneses hullám pontforrásból történő terjedésének problémájának megoldása során előnyös a gömbkoordináta-rendszer alkalmazása ; a membránoszcillációk problémájának megoldása során a hengeres koordinátarendszer előnyösebb .

Matematikai transzformációk

Alapvektorok

Ortogonális rendszerekben az alapvektorok pontszorzata:

$\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\left\{{\begin{matrix}0,&i\neq j{;}\\\vert \mathbf { e} _{i}\vert ^{2},&i=j{.}\end{mátrix}}\jobbra.$

A legtöbb esetben normalizált bázisvektorokat használnak, amelyekhez . $\mathbf {e} _{i}^{\left(n\right)}={\frac {\mathbf {e} _{i)){\left|\mathbf {e} _{i} \right|}}$

Normalizált bázisvektorok esetén ahol a Kronecker szimbólum . ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij))$ ${\displaystyle \delta _{ij))$

Pontos termék

A vektorok skaláris szorzatát ortogonális rendszerekben a következő képlettel számítjuk ki:

\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{k=1}^{n}h_{k}^{2}x^{k}y^{k}=\sum _ {k=1}^{n}{\frac {x_{k}y_{k}}{h_{k}^{2}}}=\sum _{k=1}^{n}x^{k }y_{k}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y^{k}