Ablakos Fourier transzformáció

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2018. szeptember 16-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 15 szerkesztést igényelnek .

Az ablakos Fourier-transzformáció a Fourier-transzformáció egy változata , amelyet a következőképpen definiálunk:

F(t,\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau) W(\tau-t) e^{-i\omega \tau}\,d\tau,

hol van valami ablakfüggvény . Diszkrét transzformáció esetén az ablak függvényt hasonlóan használjuk: $W(\tau-t)$

F(m,\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f[n]w[nm]e^{-j \omega n}

Számos matematikai képlet létezik, amelyek vizuálisan javítják a frekvenciaspektrumot az ablakhatárok áttörésénél. Ehhez transzformációkat alkalmaznak: háromszög (Barlett), szinuszos ablak, szinuszos kocka, szinusz a 4. hatványhoz, Parzen, Welch, Gauss, Hanning, emelt koszinusz (Hamming), Csebisev, pulzációkkal, Rosenfield, Blackman-Harris transzformáció, vízszintes és lapos tetejű. Létezik egy technika az ablakok átfedésére is, ilyenkor általában kiválasztható, hogy az előző ablakból hány mintát átlagoljon az aktuális ablakkal.

Alkalmazás

A gyakorlatban nem lehet végtelen időközönként jelet venni, mivel nem lehet tudni, hogy a készülék bekapcsolása előtt milyen jel volt, és mi lesz a jövőben. Az elemzési intervallum korlátozása egyenértékű az eredeti jel szorzatával egy négyszögletes ablakfüggvénnyel. Így az ablakos Fourier-transzformáció eredménye nem az eredeti jel spektruma, hanem a jel és az ablakfüggvény szorzatának spektruma. Ennek eredményeként a jel spektrum szétterülésének nevezett hatás lép fel. A veszély az, hogy a nagyobb amplitúdójú oldallebenyek elfedhetik más alacsonyabb amplitúdójú jelek jelenlétét.

A spektrum terjedésének leküzdésére egy simább ablak funkciót használnak, amelynek spektruma szélesebb főlebenyű és alacsony oldallebenyekkel rendelkezik. Az ablakos Fourier-transzformációval kapott spektrum az eredeti ideális jel spektrumának és az ablakfüggvény spektrumának konvolúciója.

Az ablakhasználat által okozott torzulást az ablak mérete és alakja határozza meg. Az ablakfüggvények következő főbb tulajdonságait különböztetjük meg: a főlebeny szélessége -3 dB szinten, a főlebeny szélessége nulla szinten, az oldallebenyek maximális szintje, az ablakfunkció csillapítási együtthatója .

Az ablakos Fourier-transzformációt kommunikációban használják frekvenciaszűrők szintéziséhez, például több vivővel történő frekvenciamultiplexáláshoz az FBMC frekvenciaszűrő bank (comb) segítségével [1] .

Idő-frekvencia felbontás

Az ablakos Fourier transzformáció használatakor lehetetlen egyszerre jó idő- és frekvenciafelbontást biztosítani. Minél szűkebb az ablak, annál nagyobb az időfelbontás és annál kisebb a frekvenciafelbontás.

A tengely felbontása állandó. Ez nemkívánatos számos probléma esetén, amelyekben az információ egyenetlenül oszlik el a frekvenciák között. Ilyen problémák esetén az ablakos Fourier-transzformáció alternatívájaként a wavelet transzformáció használható , melynek időbeli felbontása a frekvenciával nő (a frekvencia csökken).

Az ablakfüggvények típusai

Téglalap alakú ablak

w(n)=\left\{ \begin{mátrix} 1, & n\in[0,N-1] \\ 0, & n\notin[0,N-1]\\ \end{mátrix} \ jobb.

Automatikusan beszerezve, ha a minta N mintára korlátozódik. Maximális frekvenciaválasz oldallebenyek: -13 dB.

Hann (Hanning) ablaka

w(n) = 0,5\; \left(1 - \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right) \right)

ahol N az ablak szélessége. Sidelobe szint: -31,5 dB.

Hamming ablak

w(n)=0,53836-0,46164\; \cos \left ( \frac{2\pi n}{N-1} \right)

Sidelobe szint: -42 dB.

Blackman ablak

w(n)=a_0 - a_1 \cos \left ( \frac{2 \pi n}{N-1} \right) + a_2 \cos \left ( \frac{4 \pi n}{N-1} \ jobb)

a_{0}={\frac {1-\alpha }{2));\quad a_{1}={\frac {1}{2));\quad a_{2}={\frac {\alpha }{2}}

Sidelobe szint: -58 dB (α=0,16).

Kaiser ablak

w(n) = \frac { | I _0 \left ( \beta \sqrt {1 - \left ( \frac{2n-N+1}{N-1} \right )^2} \right ) | } { | I_0 (\béta) | }

ahol az első típusú nullarendű módosított Bessel-függvény; az az együttható, amely meghatározza az ablakfüggvény spektrumának fő lebenyében koncentrálódó energia hányadát . Minél több , annál nagyobb az energia részaránya, és minél szélesebb a főlebeny, és annál alacsonyabb az oldallebenyek szintje. A gyakorlatban 4 és 9 közötti értékeket használnak. $I_0$ $\beta$ $\beta$

Megvalósítás

Az ablakos Fourier-transzformációhoz digitális formában nem csak az egyes digitális minták súlyozása használható a konvolúcióképzés folyamatában, hanem a Fourier-transzformációs válaszok ekvivalens súlyozott összegzése is [1] .

Például a Hann (Hanning) ablak és a Hamming ablak súlyozása a következőképpen ábrázolható:

w={\frac {U_{1}+\beta U_{2}+U_{3}}{\beta }}

ahol , , a Fourier transzformáció kezdeti válaszai, az ablakos transzformáció eredménye, megfelel a Hann (Hanning) ablaknak, - a Hamming ablaknak [1] [2] . $U_{1}$ $U_{2}$ $U_{3}$ $w$ $\beta=2$ $\beta =0,53836/0,23082$

A megadott súlyozás megvalósítása csúszóablak módban történik a Fourier-transzformáció választömbjén.

Lásd még

Jegyzetek

↑ 1 2 3 Slyusar V.I. A rádiórelé kommunikáció modern irányzatai. //Technológiák és kommunikációs eszközök. - 2014. - No. 4. - P. 32 - 36. [https://web.archive.org/web/20200110062028/https://slyusar.kiev.ua/TSS_4_2014_1.pdf 2020. január 10-i archivált másolat a Wayback gépen ]
↑ Slyusar V. I., Korolev N. A. Vashchenko P. A. Egy módszer a cellás kommunikációs rendszerek frekvenciaszelektivitásának növelésére digitális sugárformálás segítségével. // Jelentéskivonatok XIV NTC. 1. rész - Zhitomir: ZHVIRE. - 2004. - S. 77. [1] Archív másolat 2020. január 14-én a Wayback Machine -nél

Külső linkek

Néhány ablakfunkció és paramétereik archiválva : 2017. május 8. a Wayback Machine -nél
Ablakfüggvények használata digitális spektrális elemzési feladatokban. Példák és ajánlások archiválva 2017. február 17-én a Wayback Machine -nél