A gyűrűs tér egy topológiai tér , amelynek minden nyitott halmaza a halmaz „függvényeinek” kommutatív gyűrűjéhez van társítva . A gyűrűs terek különösen a sémák meghatározásában használatosak .
A gyűrűs tér egy topológiai tér , amelyen egy köteg kommutatív gyűrű található. Ezt a kévét térszerkezeti kévnek nevezik .
A lokálisan gyűrűzött tér olyan gyűrűs tér, amelyben a köteg szála bármely ponton helyi gyűrű .
Bármely topológiai tér felruházható egy lokálisan gyűrűzött tér szerkezetével, ha egy köteg folytonos valós értékű függvényt tekintünk rajta. Ennek a kötegnek az x pontban lévő szála – a folytonos valós értékű függvények csíráinak gyűrűje x -ben – egy lokális gyűrű, amelynek egyetlen maximális ideálja az x pontban eltűnt függvénycsírák . Hasonlóképpen, egy sima elosztó egy sima funkciókkal rendelkező ceruzával helyileg gyűrűzött tér.
Ha X egy Zariski topológiájú algebrai változat (például valamely gyűrű spektruma ), akkor a rajta lévő lokálisan gyűrűzött tér szerkezetét a következőképpen vezetjük be: a racionális függvények halmaza, amely az egész U -n van definiálva . Az ilyen gyűrűs teret affin sémának nevezik , az általános sémákat több affin séma "ragasztásának" eredményeként határozzák meg.
A közötti morfizmus megadásához a következő információkat kell kijavítania:
A gyűrűs homomorfizmusoknak összhangban kell lenniük a köteg szerkezetével, azaz restrikciós leképezésekkel kell ingázniuk. Nevezetesen, ha a nyitott részhalmazai , a következő diagramnak kommutatívnak kell lennie:
A lokálisan gyűrűzött terek morfizmusainak még egy követelménynek kell megfelelniük. Az egyes pontokra vonatkozó homomorfizmusok homomorfizmust indukálnak egy pontban lévő rétegről egy pontban lévő rétegre . Szükséges, hogy ezek a homomorfizmusok lokálisak legyenek , azaz az előkép maximális ideálját a kép maximális ideáljának egy részhalmazába vegyék.
A lokálisan gyűrűzött terek szerkezete lehetővé teszi számunkra, hogy értelmes definíciót vezessünk be az érintőtér pontjában. Tekintsünk egy pontot a gyűrűs térben . Tekintsünk egy lokális gyűrűt ( x szál szál ) maximális ideális értékkel . Ekkor egy mező, egy vektortér ezen a mezőn. A pontban lévő érintőteret ennek a térnek a duálisaként határozzuk meg .
Az ötlet a következő: az érintőtér olyan vektorokból áll, amelyek mentén egy adott pontban "meg lehet különböztetni" a "függvényeket", vagyis a gyűrű elemeit . Elég, ha megtaláljuk a módját azoknak a függvényeknek a megkülönböztetésére, amelyeknek az értéke egy adott pontban nulla, mivel a többiek konstansban különböznek tőlük, vagyis elég leírni a függvények deriváltjait -ból . Ebben az esetben két függvény szorzatának különbsége nullával egyenlő (azt akarjuk, hogy a szorzat deriváltjának képlete igaz maradjon). Ezért a vektornak minden elemhez számot kell rendelnie , és ezt teszik a kettős tér elemei .
Könnyen ellenőrizhető, hogy a sima funkciójú sima elosztóknál ez a meghatározás egybeesik-e a szokásos definícióval. Másrészt egy topológiai tér esetén a folytonos (valós értékű) függvények ceruzájával , mivel folytonos függvény esetén a függvény is folytonos. Ezért ebben az esetben az érintőtér bármely pontban 0 dimenziójú.