Gyűrűzött tér

A gyűrűs tér egy topológiai tér , amelynek minden nyitott halmaza a halmaz „függvényeinek” kommutatív gyűrűjéhez van társítva . A gyűrűs terek különösen a sémák meghatározásában használatosak .

Definíció

A gyűrűs tér egy topológiai tér , amelyen egy köteg kommutatív gyűrű található. Ezt a kévét térszerkezeti kévnek nevezik . $(X,{\mathcal O}_{X})$ $x$ ${\mathcal O}_{X}$ $x$

A lokálisan gyűrűzött tér olyan gyűrűs tér, amelyben a köteg szála bármely ponton helyi gyűrű . ${\mathcal O}_{X}$

Példák

Bármely topológiai tér felruházható egy lokálisan gyűrűzött tér szerkezetével, ha egy köteg folytonos valós értékű függvényt tekintünk rajta. Ennek a kötegnek az x pontban lévő szála – a folytonos valós értékű függvények csíráinak gyűrűje x -ben – egy lokális gyűrű, amelynek egyetlen maximális ideálja az x pontban eltűnt függvénycsírák . Hasonlóképpen, egy sima elosztó egy sima funkciókkal rendelkező ceruzával helyileg gyűrűzött tér.

Ha X egy Zariski topológiájú algebrai változat (például valamely gyűrű spektruma ), akkor a rajta lévő lokálisan gyűrűzött tér szerkezetét a következőképpen vezetjük be: a racionális függvények halmaza, amely az egész U -n van definiálva . Az ilyen gyűrűs teret affin sémának nevezik , az általános sémákat több affin séma "ragasztásának" eredményeként határozzák meg. ${\mathcal O}_{X}(U)$

Gyűrűs terek morfizmusai

A közötti morfizmus megadásához a következő információkat kell kijavítania: $(X,{\mathcal O}_{X})$ $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$

Folyamatos megjelenítés . $f:X\Y-ig$
Minden nyitott részhalmazhoz egy gyűrűhomomorfizmus . $U\in Y$ $\varphi _{U}:{\mathcal {O}}_{Y}(U)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(U))$

A gyűrűs homomorfizmusoknak összhangban kell lenniük a köteg szerkezetével, azaz restrikciós leképezésekkel kell ingázniuk. Nevezetesen, ha a nyitott részhalmazai , a következő diagramnak kommutatívnak kell lennie: $V_{1}\subset V_{2}$ $Y$

A lokálisan gyűrűzött terek morfizmusainak még egy követelménynek kell megfelelniük. Az egyes pontokra vonatkozó homomorfizmusok homomorfizmust indukálnak egy pontban lévő rétegről egy pontban lévő rétegre . Szükséges, hogy ezek a homomorfizmusok lokálisak legyenek , azaz az előkép maximális ideálját a kép maximális ideáljának egy részhalmazába vegyék. $\varphi$ $x\X-ben$ ${\mathcal {O}}_{Y}$ $f(x)$ ${\mathcal O}_{X}$ $x$

Érintő tér

A lokálisan gyűrűzött terek szerkezete lehetővé teszi számunkra, hogy értelmes definíciót vezessünk be az érintőtér pontjában. Tekintsünk egy pontot a gyűrűs térben . Tekintsünk egy lokális gyűrűt ( x szál szál ) maximális ideális értékkel . Ekkor egy mező, egy vektortér ezen a mezőn. A pontban lévő érintőteret ennek a térnek a duálisaként határozzuk meg . $x\X-ben$ $(X,{\mathcal O}_{X})$ $R_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ $R_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ $x$

Az ötlet a következő: az érintőtér olyan vektorokból áll, amelyek mentén egy adott pontban "meg lehet különböztetni" a "függvényeket", vagyis a gyűrű elemeit . Elég, ha megtaláljuk a módját azoknak a függvényeknek a megkülönböztetésére, amelyeknek az értéke egy adott pontban nulla, mivel a többiek konstansban különböznek tőlük, vagyis elég leírni a függvények deriváltjait -ból . Ebben az esetben két függvény szorzatának különbsége nullával egyenlő (azt akarjuk, hogy a szorzat deriváltjának képlete igaz maradjon). Ezért a vektornak minden elemhez számot kell rendelnie , és ezt teszik a kettős tér elemei . $R_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$

Könnyen ellenőrizhető, hogy a sima funkciójú sima elosztóknál ez a meghatározás egybeesik-e a szokásos definícióval. Másrészt egy topológiai tér esetén a folytonos (valós értékű) függvények ceruzájával , mivel folytonos függvény esetén a függvény is folytonos. Ezért ebben az esetben az érintőtér bármely pontban 0 dimenziójú. ${\mathfrak {m}}_{x}={\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ $f(x)$ ${\sqrt {|f(x)|}}$

Irodalom

Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). Elements de geométrie algébrique: I. Le langage des schemas. Archivált : 2016. március 6., a Wayback Machine Publications Mathématiques de l'IHÉS 4. 0.4. szakasza.
Gyűrűs tér - cikk az Encyclopedia of Mathematics -ból . A. L. Oniscsik