Homogén differenciálegyenlet

A differenciálegyenletek homogenitásának két fogalma létezik .

Az érvelés egységessége

Egy közönséges elsőrendű egyenletet homogénnek mondunk x és y vonatkozásában, ha a függvény 0 fokú homogén : $y'=f(x,y)$ $f(x,y)$

f(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{0}f(x,y)=f(x,y)

Egy homogén függvény a következő függvényeként ábrázolható : ${\frac {y}{x))$

\ f(x,y)=f\left(1,{\frac {y}{x}}\right)=g\left({\frac {y}{x}}\right)

Helyettesítést használunk , majd a szorzatszabályt : . Ezután a differenciálegyenlet elválasztható változókkal rendelkező egyenletté redukálódik: ${\frac {y}{x}}=u$ ${\frac {d(ux)}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dx}{dx}}=x{\frac {du}{dx}}+ u$ $y'=f(x,y)$

u'x+u=g(u)\Rightarrow {\frac {du}{ug(u)))+{\frac {dx}{x}}=0

Egységesség a jobb oldalon

Egy differenciálegyenlet akkor homogén, ha nem tartalmaz szabad tagot – olyan tagot, amely nem függ az ismeretlen függvénytől. Tehát azt mondhatjuk, hogy az egyenlet homogén, ha . $F(y,y',y'',\ldots )=G(x)$ $G(x)\ekvivalens 0$

Ha , inhomogén differenciálegyenletről beszélünk . $G(x)\neq 0$

A lineáris homogén differenciálegyenletek megoldására egy egész elméletet építettek fel, amit a szuperpozíció elvének teljesítése segített elő .

Homogén differenciálegyenlet

Az érvelés egységessége

Egységesség a jobb oldalon

Lásd még