Kölcsönös rács

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt hozzászólók, és jelentősen eltérhet a 2013. október 22-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 13 szerkesztést igényelnek .

A reciprok rács egy háromdimenziós pontrács egy absztrakt reciprok térben, ahol a távolságok dimenziója reciprok hossz. A reciprok rács fogalma alkalmas a röntgensugarak , neutronok és elektronok diffrakciójának leírására egy kristályon. A reciprok rács (reciprok tér, impulzustér ) egy direkt kristályrács (közvetlen tér) Fourier-transzformációja .

Definíció

Mindegyik kristályszerkezet két rácsnak felel meg: egy kristályrácsnak és egy reciprok rácsnak. Lehetőség van direkt és reciprok rácsok vektorainak definiálására. A diffrakciós minta egy kristály reciprok rácsának térképe, ahogy a mikroszkópos kép a kristály tényleges szerkezetének térképe. A kristályrácsvektorok hossza dimenzióval rendelkezik, a reciprok rácsvektorok dimenziója pedig [hossz] −1 . A kristályrács egy rács a hétköznapi, valós térben; a reciprok rács egy rács a Fourier -térben . $\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}}$ $\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b_{2}} ,\mathbf {b_{3}}$

A krisztallográfiában a reciprok rács olyan K vektorhalmazból áll , hogy

e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1

minden R vektorra , amely a kristályrács csomópontjainak helyzetét jelzi.

Egy bázisvektorokkal jellemezhető végtelen háromdimenziós rács esetén annak reciprok rácsát a reciprok rács bázisvektorainak hármasa adja meg , a közvetlen rács bázisvektoraihoz viszonyítva a relációval és a képletekkel számítva. $(\mathbf {a_{1}},\mathbf {a_{2}},\mathbf {a_{3}})$ $(\mathbf {b_{1}},\mathbf {b_{2}},\mathbf {b_{3}})$ $\mathbf {a_{j}} \cdot \mathbf {b_{k}} =\mathbf {b_{k}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{jk} =\left\{{\begin{mátrix}2\pi ,&j=k\\0,&j\neq k\end{mátrix}}\jobbra.$

{\mathbf {b_{{1}}}=2\pi {\frac {{\mathbf {a_{{2}}}}\times {\mathbf {a_{{3}}}}}{{\ mathbf {a_{{1}}}}\cdot ({\mathbf {a_{{2}}}}\times {\mathbf {a_{{3}}}})}}

{\mathbf {b_{{2}}}=2\pi {\frac {{\mathbf {a_{{3}}}}\times {\mathbf {a_{{1}}}}}{{\ mathbf {a_{{2}}}}\cdot ({\mathbf {a_{{3}}}}\times {\mathbf {a_{{1}}}})}}

{\mathbf {b_{{3}}}=2\pi {\frac {{\mathbf {a_{{1}}}}\times {\mathbf {a_{{2}}}}}{{\ mathbf {a_{{3}}}}\cdot ({\mathbf {a_{{1}}}}\times {\mathbf {a_{{2}}}})}}

A fenti definíciót fizikai definíciónak nevezzük , mivel a 2π tényező természetesen a periodikus struktúrák vizsgálatából adódik. Egy ekvivalens krisztallográfiai definíció keletkezik, ha a reciprok rácsvektorok engedelmeskednek a következő összefüggésnek , ami megváltoztatja a reciprok rácsvektorok megtalálásának képleteit: $e^{2\pi i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1$

\mathbf {b_{1}} ={\frac {\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf { a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}

és hasonlóan más vektorokhoz. A krisztallográfiai definíció abból a szempontból előnyös, hogy az irány reciprokaként definiálja, a 2π tényező nélkül . Leegyszerűsíthet bizonyos matematikai manipulációkat, és térbeli frekvencia egységekben fejezi ki a rács kölcsönös méréseit. Kényelmi kérdés, hogy a reciprok rácsvektorok melyik definícióját használjuk, természetesen anélkül, hogy összekevernénk őket. $\mathbf {b_{1}}$ $\mathbf {a_{1}}$ $\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}}$

Más szóval, minden síkrendszer teljesen megadható a b reciprok rácsvektorral , amely merőleges a síkra, és nagysága egyenlő b = 2 π/d -vel , ahol d a síkközi távolság. Ez felfogható a reciprok rácsvektorok definíciójának.

A vektoralgebrában a bázis krisztallográfiai definícióját reciprok bázisnak nevezik, és a vektorok és a vegyes szorzat közötti szögekre vonatkozó néhány állítás bizonyítására szolgál [1] :212-214 .

A reciprok rácsot a sík indexeinek meghatározására használjuk . Bármely krisztallográfiai sík reciprok rácsvektorok halmazának felel meg, míg a reciprokrács egységvektorok legrövidebb vektorának tágulási együtthatói a sík indexei.

Jegyzetek

↑ Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektoralgebra a példákban és a problémákban . - M . : Felsőiskola , 1985. - 232 p.

Források

Sirotin Yu. I., Shaskolskaya MP A kristályfizika alapjai. — M .: Nauka, 1979. — 640 p.