Smith normál forma

A Smith-normálforma egy átlós (nem feltétlenül négyzetes) mátrix a fő ideális tartomány felett , amelynek minden átlós eleme osztható az előzővel. Bármely mátrix a főideálok tartományán felül redukálható Smith normál alakra, ha a bal és jobb oldalt megszorozzuk invertálható mátrixokkal [1] .

Megfogalmazás

Bármilyen méretű mátrixhoz, amely a főideálok tartománya felett van , léteznek olyan invertálható mátrixok , amelyek a -val oszthatók . Itt a méretmátrixot jelöli a megadott átlós bejegyzésekkel és nullákkal a fennmaradó pozíciókban. $A$ $m\szer n$ $R$ $R$ $B$ $C$ $BAC=\mathrm {diag} (g_{1},g_{2},\ldots ,g_{p},0,\ldots ,0)$ $g_{i+1}$ ${\displaystyle g_{i))$ $\mathrm {diag} (g_{1},g_{2},\ldots ,g_{p},0,\ldots ,0)$ $m\szer n$

Alkalmazások

Smith normálforma-tétele magában foglalja a jól ismert tételt a véges generált modulok fő ideális tartományok feletti szerkezetére vonatkozóan . Konkrétan, ha az egész számok gyűrűje, akkor a Smith-normálforma egy tételt ad a véges generált Abel-csoportok szerkezetére vonatkozóan, és ha a polinomok gyűrűje egy algebrailag zárt mező felett , akkor abból levezethető egy tétel a lineáris operátor Jordan alakja . $R$ $R=F[t]$ $F$

Lásd még

Hermitikus normál forma

Jegyzetek

↑ A lineáris algebra feladatai és tételei, 1996 , p. 128.

Irodalom

Prasolov VV Lineáris algebra feladatai és tételei. — M .: Nauka, 1996. — 304 p. - ISBN 5-02-014727-3 .