Négyoldalú egyenlőtlenség

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2017. április 16-án áttekintett verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A négyszög egyenlőtlenség egy olyan egyenlőtlenség, amely a metrikus tér bármely négy pontjára érvényes, ahol a háromszög egyenlőtlenség igaz . Geometriai jelentése, hogy egy négyszög két oldalának különbsége nem haladja meg a másik két oldal összegét [1] .

Megfogalmazás

Jelöljük a metrikus tér és a pontjai közötti távolságot . Ekkor a metrikus tér bármely négy pontjára teljesül a következő egyenlőtlenség: . $\rho (x,y)$ $x$ $y$ $x,y,z,u$ $\left|\rho (x,z)-\rho (y,u)\right|\leqslant \rho (x,y)+\rho (z,u)$

Bizonyítás

Tekintsük a háromszög egyenlőtlenségből következő egyenlőtlenségeket :

\rho (x,z)\leqslant \rho (x,y)+\rho (y,u)+\rho (u,z)

\rho (y,u)\leqslant \rho (y,x)+\rho (x,z)+\rho (z,u)

Vonja le az első egyenlőtlenség mindkét részéből és a második egyenlőtlenség mindkét részéből . ${\megjelenítési stílus \rho (y,u)}$ ${\megjelenítési stílus \rho (x,z)}$

A második háromszög egyenlőtlenség

Amikor , a négyszög egyenlőtlenség a második háromszög egyenlőtlenséggé változik: $z=u$ $\left|\rho (x,z)-\rho (y,z)\right|\leqslant \rho (x,y)$

Négyszög egyenlőtlenségek a planimetriában

Négyszög egyenlőtlenség - a négyszög bármely két oldalának különbségének modulusa nem haladja meg a másik két oldal összegét : . $\left|ab\right|\leq c+d$
Egyenértékűen: bármely négyszögben (beleértve az elfajultat is) három oldalának hosszának összege nem kisebb, mint a negyedik oldal hossza, azaz: ; ; ; . $a\leq b+c+d$ $b\leq +c+d$ $c\leq a+b+d$ $d\leq a+b+c$

Jegyzetek

↑ Shilov G. E. Matematikai elemzés. Különleges tanfolyam. — M.: Fizmatlit, 1961. — 29. o

Lásd még

háromszög egyenlőtlenség