Rouge háromszög egyenlőtlenség

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. május 20-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A Rouge-háromszög egyenlőtlenség három halmaz összes páronkénti különbségének halmazát köti össze egy tetszőleges csoportban .

Megfogalmazás

Legyen egy csoport és .

Aztán , hol .

Háromszög egyenlőtlenség összeadással

Van még egy egyenlőtlenség [1] , amely a Rouge-háromszög-egyenlőtlenséghez hasonló, amelyet azonban nehezebb bizonyítani, mint a klasszikust - a Plünnecke-Rouge egyenlőtlenség segítségével, amelyet maga a klasszikus Rouge-egyenlőtlenség bizonyít.

Bizonyítás

Tekintsünk egy függvényt , amely így van definiálva . Ekkor minden képhez legalább különböző inverz képei vannak az űrlapnak . Ez azt jelenti, hogy az előképek teljes száma nem kevesebb, mint . Eszközök,

Analógia a háromszög egyenlőtlenséggel

Tekintsünk egy [2] [3] függvényt , amely a "halmazok közötti távolságot" határozza meg a Minkowski-különbség alapján:

Ez a függvény nem metrika , mert az egyenlőség nem áll fenn rá , de nyilvánvalóan szimmetrikus, és a Rouge-egyenlőtlenség közvetlenül magában foglalja a háromszög egyenlőtlenséget is:

Következmények

Helyettesítve megkapjuk

Helyettesítve megkapjuk

Helyettesítve megkapjuk

.

Lásd még

Jegyzetek

  1. M. Z. Garaev, Halmazok összegei és szorzatai, valamint racionális trigonometrikus összegek becslései elsőrendű mezőkben Archiválva : 2017. december 11., a Wayback Machine , p. 17
  2. Harald Helfgott előadásának szöveges összefoglalója a Szentpétervári Állami Egyetemen  (elérhetetlen link)
  3. Harald Helfgott előadása a Szentpétervári Állami Egyetemen