Rouge háromszög egyenlőtlenség

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. május 20-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A Rouge-háromszög egyenlőtlenség három halmaz összes páronkénti különbségének halmazát köti össze egy tetszőleges csoportban .

Megfogalmazás

Legyen egy csoport és . ${\megjelenítési stílus (G,+)}$ $U,V,W\subset G$

Aztán , hol . $|U|\cdot |VW|\leq |VU|\cdot |UW|$ $AB=\left\lkapcsos zárójel {ab:a\in A,b\in B}\right\rbrace$

Háromszög egyenlőtlenség összeadással

Van még egy egyenlőtlenség [1] , amely a Rouge-háromszög-egyenlőtlenséghez hasonló, amelyet azonban nehezebb bizonyítani, mint a klasszikust - a Plünnecke-Rouge egyenlőtlenség segítségével, amelyet maga a klasszikus Rouge-egyenlőtlenség bizonyít.

|U|\cdot |V+W|\leq |V+U|\cdot |U+W|

Bizonyítás

Tekintsünk egy függvényt , amely így van definiálva . Ekkor minden képhez legalább különböző inverz képei vannak az űrlapnak . Ez azt jelenti, hogy az előképek teljes száma nem kevesebb, mint . Eszközök, $\varphi :(VU)\times (UW)\to (VW)$ $\varphi (x,y)=x+y$ $vw\in VW$ $|U|$ $(vu,uw),u\in U$ $|VW||U|$ $|U||VW|\leq |VU||UW|$

Analógia a háromszög egyenlőtlenséggel

Tekintsünk egy [2] [3] függvényt , amely a "halmazok közötti távolságot" határozza meg a Minkowski-különbség alapján:

${\displaystyle \rho (A,B)=\log {\frac {|AB|}{\sqrt {|A||B|))))$

Ez a függvény nem metrika , mert az egyenlőség nem áll fenn rá , de nyilvánvalóan szimmetrikus, és a Rouge-egyenlőtlenség közvetlenül magában foglalja a háromszög egyenlőtlenséget is: $\rho (A,A)=0$